第三種電気主任技術者試験 / 令和4年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 / 各問題解説 / 問90
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令和4年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問90 解説 問9 大問9

設問図

問9 図のようなRC交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧E[V]を加えたとき、容量性リアクタンス6Ωのコンデンサの端子間電圧の大きさは12Vであった。このとき、E[V]と図の破線で囲んだ回路で消費される電力P[W]の値の組み合わせとして、正しいもの次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

  1. E[V]=20, P[W]=32
  2. E[V]=20, P[W]=96 ✓ 正答
  3. E[V]=28, P[W]=120
  4. E[V]=28, P[W]=168
  5. E[V]=40, P[W]=309

解説

正答は E[V]=20V, P[W]=96W の組み合わせであり、これは容量性リアクタンスを持つコンデンサの端子間電圧と、回路全体で消費される電力の関係をオームの法則および電力計算式を用いて導き出すことで判断できる。

交流回路におけるインピーダンス、電圧、電流、電力の関係

交流回路では、抵抗（R）、インダクタンス（L）、キャパシタンス（C）といった素子が電流の流れにくさに影響を与える。この電流の流れにくさをインピーダンスといい、単位はオーム（Ω）である。

  • 抵抗 (R): 電圧と電流は同位相で、消費電力は P=V⋅I=I2⋅R=V2/RP = V \cdot I = I^2 \cdot R = V^2 / R で表される。
  • 誘導性リアクタンス (XL): 電圧に対して電流が90°遅れる。電力は消費されない（皮相電力のみ）。
  • 容量性リアクタンス (XC): 電圧に対して電流が90°進む。電力は消費されない（皮相電力のみ）。

回路全体のインピーダンス ZZ は、各素子のインピーダンスを複素数で表現し、それらを合成して求められる。並列回路の場合、合成インピーダンスは各並列経路のインピーダンスの逆数の和の逆数で求められる。

電圧 EE、電流 II、インピーダンス ZZ の関係は、直流回路のオームの法則 V=IRV=IR に相当する交流版として、E=I⋅ZE = I \cdot Z で表される。ここで、 EE、 II、 ZZ はそれぞれ電圧、電流、インピーダンスの大きさ（実効値）である。

電力 PP については、消費電力は抵抗成分でのみ発生する。コンデンサやコイル（インダクタ）は、理想的なものであれば電力を消費せず、エネルギーを蓄えたり放出したりする。

回路の各部分のインピーダンスと電圧の関係

問題の図に示す回路は、電源 E[V]E[V] に接続された二つの並列回路から構成されている。一方の並列回路は抵抗 8Ω8Ω とコンデンサ 6Ω6Ω （容量性リアクタンス）が直列に接続されており、もう一方の並列回路は抵抗 4Ω4Ω とコンデンサ 3Ω3Ω （容量性リアクタンス）が直列に接続されている。

図では、抵抗 8Ω8Ω とコンデンサ 6Ω6Ω の直列回路に 12V12V の電圧がかかっていることが示されている。これは、この直列回路に流れる電流 I1I_1 の大きさが、 I1=V8Ω,6ΩZ1I_1 = \frac{V_{8\Omega,6\Omega}}{Z_1} で求められることを意味する。ここで V8Ω,6Ω=12VV_{8\Omega,6\Omega} = 12V である。

この並列回路全体を流れる電流 II は、各並列経路を流れる電流 I1I_1 と I2I_2 のベクトル和となる。

答えに至る判断ステップ

  1. 並列回路の片方の電流を特定する: 抵抗 8Ω8Ω と容量性リアクタンス 6Ω6Ω の直列回路にかかる電圧が 12V12V であることから、この回路に流れる電流 I1I_1 の大きさは、この直列回路のインピーダンス Z1Z_1 を用いて I1=12VZ1I_1 = \frac{12V}{Z_1} となる。しかし、 Z1Z_1 を計算するには、容量性リアクタンス XCX_C が 6Ω6Ω であることと、抵抗 R1=8ΩR_1=8Ω が分かっているため、Z1=R12+XC12=82+62=64+36=100=10ΩZ_1 = \sqrt{R_1^2 + X_{C1}^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10Ω と計算できる。したがって、I1=12V10Ω=1.2AI_1 = \frac{12V}{10Ω} = 1.2A となる。

  2. 回路全体のインピーダンスを計算する: 問題文で与えられている「容量性リアクタンス 6Ω6Ω のコンデンサの端子間電圧の大きさは 12V12V であった」という記述は、図の左側の直列回路（抵抗 8Ω8Ω とコンデンサ 6Ω6Ω）のコンデンサにかかる電圧のことである。このコンデンサにかかる電圧 VC1=12VV_{C1} = 12V である。このコンデンサに流れる電流 I1I_1 は、 VC1=I1⋅XC1V_{C1} = I_1 \cdot X_{C1} より、12V=I1⋅6Ω12V = I_1 \cdot 6Ω となり、I1=12V6Ω=2AI_1 = \frac{12V}{6Ω} = 2A である。 この電流 I1I_1 が流れているとき、直列に接続された 8Ω8Ω の抵抗にかかる電圧 VR1V_{R1} は、VR1=I1⋅R1=2A⋅8Ω=16VV_{R1} = I_1 \cdot R_1 = 2A \cdot 8Ω = 16V となる。 したがって、左側の直列回路全体にかかる電圧 E1E_1 は、E1=VR12+VC12=162+122=256+144=400=20VE_1 = \sqrt{V_{R1}^2 + V_{C1}^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20V である。

  3. 電源電圧 E[V]E[V] を決定する: 問題の図は、電源 E[V]E[V] が二つの並列回路（左側： 8Ω8Ω と 6Ω6Ω の直列、右側： 4Ω4Ω と 3Ω3Ω の直列）に接続されていることを示している。上記ステップ2で、左側の並列回路にかかる電圧は E1=20VE_1 = 20V であることが分かった。ここで、電源電圧 EE は、この二つの並列回路に共通して印加される電圧であり、この回路図では、二つの並列回路の片方の端子が電源のプラス極に、もう片方の端子が電源のマイナス極に接続されていると解釈できる。したがって、電源電圧 EE は、左側の並列回路にかかる電圧 E1E_1 に等しく、E=20VE = 20V である。

  4. 右側並列回路の電流とインピーダンスを計算する: 右側の並列回路は、抵抗 4Ω4Ω と容量性リアクタンス 3Ω3Ω の直列回路である。この回路に電源電圧 E=20VE=20V が印加される。この回路のインピーダンス Z2=R22+XC22=42+32=16+9=25=5ΩZ_2 = \sqrt{R_2^2 + X_{C2}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5Ω である。 したがって、右側の並列回路に流れる電流 I2I_2 は、I2=EZ2=20V5Ω=4AI_2 = \frac{E}{Z_2} = \frac{20V}{5Ω} = 4A である。

  5. 回路全体で消費される電力を計算する: 回路全体で消費される電力 PP は、抵抗成分で消費される電力の合計である。左側の並列回路では、抵抗 R1=8ΩR_1 = 8Ω で電力が消費され、その電流は I1=2AI_1 = 2A であるため、消費電力 P1=I12⋅R1=(2A)2⋅8Ω=4⋅8=32WP_1 = I_1^2 \cdot R_1 = (2A)^2 \cdot 8Ω = 4 \cdot 8 = 32W である。 右側の並列回路では、抵抗 R2=4ΩR_2 = 4Ω で電力が消費され、その電流は I2=4AI_2 = 4A であるため、消費電力 P2=I22⋅R2=(4A)2⋅4Ω=16⋅4=64WP_2 = I_2^2 \cdot R_2 = (4A)^2 \cdot 4Ω = 16 \cdot 4 = 64W である。 回路全体で消費される電力 PP は、これらの合計であり、P=P1+P2=32W+64W=96WP = P_1 + P_2 = 32W + 64W = 96W となる。

  6. 選択肢との照合: 計算結果より、電源電圧 E=20VE=20V、消費電力 P=96WP=96W という組み合わせが得られた。この組み合わせは選択肢(2)と一致する。

電源 E[V]E[V] と、図の破線で囲んだ回路で消費される電力 P[W]P[W] の値として、 E[V]=20VE[V]=20V、 P[W]=96WP[W]=96W の組み合わせが、回路の各素子の値と与えられたコンデンサ端子間電圧から正しく導き出されます。

参考リンク

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