平成28年度 秋期 ITパスポート試験 公開問題 問91 解説 2進数の乗算

この問題を解くには、2進数のまま筆算を行う方法と、一度慣れ親しんだ10進数に変換して計算した後に2進数に戻す方法の2通りがあります。試験本番では、計算ミスを防ぎやすい「10進数への変換」による解き方がおすすめです。

10進数に変換して計算する手順

まず、問題文にある2進数を10進数に変換します。

2進数 $1011$ の変換： $1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$

2進数 $101$ の変換： $1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 4 + 0 + 1 = 5$

次に、これらを10進数として乗算します。 $11 \times 5 = 55$

最後に、10進数の $55$ を2進数に戻します。$55$ を $2$ のべき乗の和で分解すると考えやすくなります。 $55 = 32 + 16 + 4 + 2 + 1$ $55 = 1 \times 2^{5} + 1 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$

これを2進数の並びにすると $110111$ となります。したがって、正解はエです。

2進数のまま筆算で行う方法

2進数の乗算は、実は10進数の筆算よりもシンプルです。掛ける数が $1$ ならそのまま書き写し、$0$ なら $0$ を並べるだけだからです。

      1011
    x  101
    ------
      1011  (1011 × 1)
     0000   (1011 × 0 を1桁ずらす)
    1011    (1011 × 1 を2桁ずらす)
    ------
    110111

各桁の足し算において、$1 + 1$ が発生した箇所では $0$ にして上の桁に $1$ を繰り上げる点に注意してください。この筆算でも、結果は $110111$ になります。

基数変換とコンピュータの演算原理

この問題で使われている知識は、基数変換（n進数からm進数への変換）とバイナリ演算です。

私たちは普段、10を基準とした10進数を使っていますが、コンピュータの内部では電圧のオン・オフなどを $0$ と $1$ の2つの状態だけで表す2進数が使われています。ITパスポート試験で2進数の計算が頻出するのは、コンピュータがどのようにして複雑な計算を処理しているのか、その最小単位の仕組みを理解するためです。

特に、掛け算はコンピュータ内部の演算装置（ALU）において、加算（足し算）とビットシフト（桁ずらし）を繰り返すことで実現されています。先ほどの筆算のプロセスを思い浮かべると、掛ける数が $1$ の場所で元の数をずらして足していることがわかります。このように、数学的な計算手順がそのままハードウェアの回路設計の考え方に直結しているのです。

実務においては、プログラミングでビット演算を用いた高速化を行ったり、ネットワーク設定（サブネットマスクの計算）をしたりする場面で、こうした進数の概念が必要不可欠な基礎知識となります。

参考リンク

• 【ITパスポート】2進数の計算方法（足し算、引き算、掛け算、割り算）
• 指で31まで数える：2進数の数え方
• 二進法 - Wikipedia