令和4年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問171 解説 問17(a) 大問17

正答は (4) 9×10⁹ [N・m²/C²] です。

この問題は、導体球間に働く静電力に関するクーロンの法則を理解しているかを問うものです。設問(a)では、与えられた電荷量と距離、そして静電力の大きさから、クーロンの法則における比例定数を求めることができます。

クーロンの法則

クーロンの法則とは、二つの点電荷間に働く静電力の大きさを表す法則です。この法則によれば、静電力 $F$ は、各電荷の大きさ $q_1$ および $q_2$ の積に比例し、電荷間の距離 $r$ の2乗に反比例します。この関係は、以下の式で表されます。

$F = K \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

ここで、$K$ は比例定数であり、真空中の誘電率 $\epsilon_0$ と光速 $c$ を用いて $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = c^2 \times 10^{-7} \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ と表される、約 $9 \times 10^9 \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ という値を持つ物理定数です。この比例定数 $K$ は、しばしばクーロン定数とも呼ばれます。

この問題では、導体球の大きさが電荷間の距離に比べて「極めて小さい」とされているため、点電荷として扱ってクーロンの法則を適用することができます。

比例定数の算出

設問(a)では、以下の条件が与えられています。

• 導体球 A の電荷 $q_1 = +2 \times 10^{-8} \mathrm{C}$
• 導体球 B の電荷 $q_2 = +3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$
• 導体球間の中心間距離 $r = 0.3 \mathrm{m}$
• 両導体球間に働く反発力 $F = 6 \times 10^{-5} \mathrm{N}$

これらの値をクーロンの法則の式 $F = K \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ に代入し、比例定数 $K$ について解きます。

1. クーロンの法則の式を変形する 比例定数 $K$ を求めるために、式を $K$ について整理します。 $K = F \frac{r^2}{|q_1 q_2|}$

2. 与えられた数値を代入する $K = (6 \times 10^{-5} \mathrm{N}) \times \frac{(0.3 \mathrm{m})^2}{|(+2 \times 10^{-8} \mathrm{C}) \times (+3 \times 10^{-8} \mathrm{C})|}$

3. 計算を実行する まず、電荷の積を計算します。 $|q_1 q_2| = |(2 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^{-8})| \mathrm{C^2}$ $|q_1 q_2| = 6 \times 10^{-16} \mathrm{C^2}$

   次に、距離の2乗を計算します。 $r^2 = (0.3 \mathrm{m})^2 = 0.09 \mathrm{m^2}$

   これらの値を式に代入して $K$ を計算します。 $K = (6 \times 10^{-5} \mathrm{N}) \times \frac{0.09 \mathrm{m^2}}{6 \times 10^{-16} \mathrm{C^2}}$ $K = \frac{6 \times 10^{-5} \times 0.09}{6 \times 10^{-16}} \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ $K = \frac{0.09}{10^{-16}} \times 10^{-5} \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ $K = 0.09 \times 10^{16} \times 10^{-5} \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ $K = 0.09 \times 10^{11} \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ $K = 9 \times 10^{-2} \times 10^{11} \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ $K = 9 \times 10^9 \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$

この計算結果から、求められる比例定数として最も近いものは $9 \times 10^9 \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$ であることがわかります。これは選択肢(4)に該当します。

導体球 A、B に蓄えられている電荷と、それらの間の距離、そして働く力の関係をクーロンの法則の式に当てはめて、比例定数を計算していく様子が、計算結果と選択肢を結びつけます。

参考リンク

• クーロンの法則とは？定義、公式、具体例をわかりやすく解説 - KuraLib
• 【電磁気学】クーロンの法則 ～電気量と距離の関係～ - YouTube
• クーロンの法則 - Wikipedia