令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目 問130 解説 問13 問13

この制御系の合成周波数伝達関数は、内側の並列部分をひとまとめにしてから全体の負帰還ループに当てはめることで、$(G_1 - G_2) / (1 + G_1G_3 - G_2G_3)$として導かれます。

ブロック線図の簡略化とフィードバックの基本公式

制御系のブロック線図を解析する際は、複数の伝達要素をひとまとめにしていく「簡略化」の作業が基本となります。特に重要なのが、負帰還（ネガティブフィードバック）を含む閉ループの伝達関数を求める公式です。

前向き伝達要素を $G$、帰還（フィードバック）側の伝達要素を $H$ としたとき、入力を $R$、出力を $C$ とすると、閉ループの伝達関数 $T = C/R$ は次のように表されます。

$T = \frac{G}{1 + GH}$

この公式が成り立つためには、帰還信号がマイナス記号（−）を伴って入力側に合流している必要があります。もしプラス記号（＋）で合流している場合は、分母の符号が反転し $1 - GH$ となります。ブロック線図の加減算点（○印）に記された「＋」や「−」の符号は、この公式を適用する際に最も注意すべきポイントです。

合成周波数伝達関数の導出ステップ

与えられたブロック線図を、公式が適用できる形へ段階的に整理します。

1. 並列部分の合成 図の左側には、$G_1$ と $G_2$ が並列に配置されています。$G_1$ の手前の合流点には「＋」、$G_2$ の合流点には「−」が指定されているため、この並列部分の合成伝達要素 $G_{eq}$ は、引き算の関係から $G_{eq} = G_1 - G_2$ となります。これにより、図は $G_{eq}$ が前向き経路にあり、それを $G_3$ で囲む負帰還ループへと単純化されます。

2. フィードバックの適用 簡略化された図において、前向き伝達要素は $G = G_1 - G_2$、帰還要素は $H = G_3$ となります。先ほどの基本公式 $T = G / (1 + GH)$ にこれらの値を代入します。

3. 式の計算 代入した式を整理すると、次のようになります。 $T = \frac{G_1 - G_2}{1 + (G_1 - G_2)G_3} = \frac{G_1 - G_2}{1 + G_1G_3 - G_2G_3}$ この結果が、入力 $R(j\omega)$ から出力 $C(j\omega)$ までの全体の伝達関数となります。

信号が伝わる経路上の各要素のつながりと、合流点に示された符号の関係を重ねてみると、ループ全体の挙動が見えてきます。

参考リンク

• ブロック線図の解き方と伝達関数
• Pythonで学ぶ制御工学：ブロック線図の簡略化
• 制御系におけるブロック線図の代数的な取扱い - 日本機械学会