令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目 問182 解説 問18(b) 問18

周波数伝達関数とボード線図のゲイン特性

周波数伝達関数 $W(j\omega) = \frac{10}{1 + j0.2\omega}$ において、直流ゲインが $20\text{log}_{10}(10) = 20[\text{dB}]$ となり、折れ点角周波数が $\omega = 5[\text{rad/s}]$ でゲインが低下し始めるため、グラフ(2)が正当なボード線図となります。

一次遅れ系の伝達関数とゲイン特性

制御工学におけるボード線図は、システムの周波数応答を視覚化したものです。本問のように $W(j\omega) = \frac{K}{1 + j\omega T}$ の形で表される系は「一次遅れ系」と呼ばれます。この系のゲイン特性を読み取るには、以下の性質が鍵となります。

• 直流ゲイン: 角周波数 $\omega$ が $0$ に近いとき、伝達関数の値はほぼ $K$ となります。これをデシベル換算した $20\text{log}_{10}|K|[\text{dB}]$ が、グラフの左側の水平な部分の高さ（ゲイン）を表します。
• 折れ点角周波数: 分母の虚部である $\omega T$ が $1$ になるとき、すなわち $\omega = 1/T$ の周波数を折れ点角周波数と呼びます。この周波数を境に、それより高い周波数帯域ではゲインが $-20[\text{dB/dec}]$ の傾きで減衰し始めます。この $-20[\text{dB/dec}]$ という傾きは、周波数が $10$ 倍になるごとにゲインが $20[\text{dB}]$ 低下することを意味する、一次遅れ系特有の振る舞いです。

ゲイン特性の判断手順

与えられた伝達関数 $W(j\omega) = \frac{10}{1 + j0.2\omega}$ に対して、上記の性質を当てはめてグラフを特定します。

1. 直流ゲインの大きさを計算します。$\omega = 0$ を代入すると $W(0) = 10$ となり、これをデシベル値に変換すると $20\text{log}_{10}(10) = 20[\text{dB}]$ です。グラフの左端が $20[\text{dB}]$ の高さにあることを確認します。
2. 折れ点角周波数を特定します。分母の $j$ にかかる係数 $0.2$ より、$\omega \times 0.2 = 1$ を解くと、$\omega = 1 / 0.2 = 5[\text{rad/s}]$ となります。
3. 以上の結果をボード線図に重ね合わせます。横軸の $5[\text{rad/s}]$ まではゲイン $20[\text{dB}]$ の水平線を維持し、そこから右側に向かって $-20[\text{dB/dec}]$ の傾きで下降する線を探すと、グラフ(2)の形状と一致します。

グラフの横軸にある $5[\text{rad/s}]$ という値と、縦軸の $20[\text{dB}]$ という高さの関係を追ってみると、周波数特性の変わり目が見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験（電験三種）の学習方法とポイント
• 制御工学のボード線図をPythonで描画してみる
• 周波数応答とボード線図の定義