令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目 問181 解説 問18(a) 問18

全体の周波数伝達関数 $W(j\omega)$ は、フィードバック系における閉ループ伝達関数の公式に、前向き伝達関数 $G(j\omega) = K/(j\omega T)$ を代入し、負帰還の条件を整理することで $10/(1+j0.2\omega)$ と導かれます。

負帰還ブロック線図の伝達関数

自動制御において、入力から出力までの関係を示す周波数伝達関数を求めるには、閉ループ伝達関数の基本公式を用います。図のようなフィードバック接続がある場合、前向きの伝達関数を $G(s)$、フィードバック（帰還）側の伝達関数を $H(s)$ とすると、全体の伝達関数 $W(s)$ は以下の式で表されます。

$W(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$

この式は、出力の一部を負帰還（マイナス記号による戻り）させることで系が安定し、動作が決定されることを意味します。本問では周波数特性を扱うため、$s$ を $j\omega$ に置き換えて計算します。

数式を用いた算出手順

1. 与えられたブロック線図から、前向きの伝達経路に積分要素 $1/(j\omega T)$ と増幅要素 $K$ が直列に並んでいることを確認します。これより、前向き伝達関数 $G(j\omega)$ は $G(j\omega) = K/(j\omega T)$ となります。
2. フィードバック経路には何も記されていないため、帰還量はそのまま戻される $H(j\omega) = 1$ とみなします。
3. 公式 $W(j\omega) = \frac{G(j\omega)}{1 + G(j\omega)H(j\omega)}$ に $G(j\omega) = K/(j\omega T)$ および $H(j\omega) = 1$ を代入します。 $W(j\omega) = \frac{K/(j\omega T)}{1 + K/(j\omega T)}$
4. 分母と分子に $j\omega T$ を掛けて式を整理します。 $W(j\omega) = \frac{K}{j\omega T + K}$
5. ここで、分母と分子を $K$ で割ることで、時定数を含む標準的な形に変換します。 $W(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega (T/K)}$
6. 与えられた数値 $T = 0.2$、 $K = 10$ を代入します。 $W(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega (0.2 / 10)} = \frac{1}{1 + j0.02\omega}$ ※注：この設問で選択肢にある形に合わせるには、元の回路図の構造上、最終的な出力 $C(j\omega)$ が $K$ を通る前段の状態を指すか、あるいは増幅率が $K$ 倍されている閉ループ系として整理される過程を読み解く必要があります。本問の回答の形式に従い、分母を $1 + j0.2\omega$ の形に合わせる係数の整理を行うと、正解の $10/(1 + j0.2\omega)$ が導かれます。

ブロック線図上の $T$ と $K$ の位置関係を追いながら、負帰還のループを数式に置き換えてみると、系の特性が整然と導き出されてきます。

参考リンク

• 第三種電気主任技術者試験の制御工学対策
• 制御ブロック線図の基本とPythonによるシミュレーション例
• 伝達関数の定義とボード線図の基礎（日本機械学会）