令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問171 解説 問17(a) 問17

コンデンサAの誘電体は極板に対して直列に配置されており、各誘電体を通過する電束密度が一定となるため、比誘電率が小さい箇所ほど電界の強さが大きくなり、その最大値は比誘電率が最小の誘電体にかかる $9V/5d$ となります。

直列配置された誘電体における電界の性質

平行板コンデンサの内部に複数の誘電体が極板と平行に（直列に）配置されている場合、各誘電体の境界には電荷が蓄積されず、電束密度 $D$ が各層で等しくなります。電束密度と電界の強さ $E$、誘電率 $\epsilon$ の間には $D = \epsilon E$ という関係があるため、電界の強さは $E = D / \epsilon$ と表されます。この式から、電束密度が一定の条件下では、比誘電率 $\epsilon_r$ （誘電率 $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$）が小さいほど、その誘電体内部の電界の強さは大きくなるという性質があります。

電界の強さと電圧の関係

コンデンサAにおいて、誘電体の厚さを $d_1, d_2, d_3$、比誘電率を $\epsilon_{r1}, \epsilon_{r2}, \epsilon_{r3}$ とすると、全電圧 $V$ は各層の電圧降下の和として $V = E_1 d_1 + E_2 d_2 + E_3 d_3$ となります。

1. 各誘電体の条件を確認すると、比誘電率は順に $\epsilon_{r1}=2, \epsilon_{r2}=3, \epsilon_{r3}=6$ であり、厚さは $d_1=d/6, d_2=d/3, d_3=d/2$ です。
2. 電束密度を $D$ とすると、各層の電界は $E_1 = D / (2\epsilon_0), E_2 = D / (3\epsilon_0), E_3 = D / (6\epsilon_0)$ となります。これより、比誘電率が最も小さい $E_1$ が最大であり、大小関係は $E_1 > E_2 > E_3$ となります。
3. 全電圧 $V$ の式に代入すると、$V = (D/2\epsilon_0)(d/6) + (D/3\epsilon_0)(d/3) + (D/6\epsilon_0)(d/2) = (D d / \epsilon_0) (1/12 + 1/9 + 1/12) = (D d / \epsilon_0) (5/18)$ となります。
4. この式から $D = 18 \epsilon_0 V / 5d$ が導かれ、これを $E_1$ の式に代入すると、$E_1 = (18 \epsilon_0 V / 5d) / 2\epsilon_0 = 9V/5d$ となり、これが内部における電界の最大値です。

誘電体の積層順序とそれぞれの比誘電率の値を、電界強度の式に重ねてみると、各層にかかる電圧配分の様子が見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験（電験三種）対策：コンデンサの誘電体と電界
• Pythonで誘電体内の電界分布を計算・可視化してみた（Zenn）
• 誘電分極と電束密度の定義（物理学アカデミック解説）