令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問172 解説 問17(b) 問17

コンデンサAは誘電体を直列接続したものとして、コンデンサBは誘電体を並列接続したものとして、それぞれの合成静電容量と蓄積エネルギーを算出すれば、比が1.20倍となります。

コンデンサの接続と静電容量の関係

平行板コンデンサの静電容量 $C$ は、極板の面積を $S$、極板間の距離を $d$、誘電率を $\varepsilon$ とすると $C = \varepsilon S / d$ で表されます。誘電体が複数ある場合、それらの配置によって合成静電容量の計算方法が異なります。

誘電体が極板に対して垂直に積み重なっている場合（コンデンサA）、各誘電体の静電容量 $C_1, C_2, \dots$ は直列に接続されているとみなします。このとき、合成静電容量の逆数は各静電容量の逆数の和となります。 一方、誘電体が極板の間に並んで配置されている場合（コンデンサB）、各誘電体の静電容量 $C_1, C_2, \dots$ は並列に接続されているとみなします。このとき、合成静電容量は各静電容量の単純な和となります。

コンデンサに蓄えられるエネルギー $W$ は、電圧を $V$ としたとき $W = (1/2) C V^2$ で求められます。

コンデンサのエネルギー算出ステップ

1. コンデンサAの合成静電容量 $C_A$ を求める。誘電体が直列であるため、$1/C_A = 1/C_{A1} + 1/C_{A2} + 1/C_{A3}$ を用います。各層は $C_{A1} = (2\varepsilon_0 S) / (d/6) = 12\varepsilon_0 S / d$、$C_{A2} = (3\varepsilon_0 S) / (d/3) = 9\varepsilon_0 S / d$、$C_{A3} = (6\varepsilon_0 S) / (d/2) = 12\varepsilon_0 S / d$ となります。これより $1/C_A = (d/12\varepsilon_0 S) + (d/9\varepsilon_0 S) + (d/12\varepsilon_0 S) = (d/\varepsilon_0 S)(1/12 + 1/9 + 1/12) = 5d / 18\varepsilon_0 S$ となり、$C_A = 18\varepsilon_0 S / 5d$ が得られます。したがって、エネルギー $W_A = (1/2) \cdot (18\varepsilon_0 S / 5d) \cdot V^2 = 9\varepsilon_0 S V^2 / 5d$ です。

2. コンデンサBの合成静電容量 $C_B$ を求める。誘電体が並列であるため、$C_B = C_{B1} + C_{B2} + C_{B3}$ を用います。各部は $C_{B1} = (2\varepsilon_0 \cdot S/6) / d = \varepsilon_0 S / 3d$、$C_{B2} = (3\varepsilon_0 \cdot S/3) / d = \varepsilon_0 S / d$、$C_{B3} = (6\varepsilon_0 \cdot S/2) / d = 3\varepsilon_0 S / d$ となります。これらを合計すると $C_B = (\varepsilon_0 S / d)(1/3 + 1 + 3) = 13\varepsilon_0 S / 3d$ が得られます。したがって、エネルギー $W_B = (1/2) \cdot (13\varepsilon_0 S / 3d) \cdot V^2 = 13\varepsilon_0 S V^2 / 6d$ です。

3. エネルギーの比を算出する。$W_B / W_A = (13/6) / (9/5) = (13 \cdot 5) / (6 \cdot 9) = 65 / 54 \approx 1.2037$ となり、約1.20となります。

コンデンサAの誘電体の層と、コンデンサBの誘電体の分割面を重ねてみると、電流の経路に対する直列・並列の違いが見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験の過去問解説サイト（電験合格）
• コンデンサの誘電体と電界・エネルギーに関する解説（Zenn）
• コンデンサの基礎理論（電気学会 電気専門用語集）