令和8年度 上期 第3種 理論 問10 解説 問1

電源分離により電荷 $Q$ が一定に保たれた平行平板コンデンサにおいて、極板間距離を $2$ 倍にすると静電容量は半分の $4\ \mu\text{F}$ に減少するため、静電エネルギーは反比例して $2$ 倍の $8\text{ J}$ に増加し、選択肢の「静電容量：4，静電エネルギー：8」が正解となります。

平行平板コンデンサの構造と静電エネルギーの法則

平行平板コンデンサの静電容量 $C\ [\text{F}]$ は、極板間の誘電率 $\varepsilon\ [\text{F/m}]$、極板面積 $S\ [\text{m}^2]$、極板間距離 $d\ [\text{m}]$ を用いて次の静電容量の公式で表されます。

$C = \varepsilon \frac{S}{d}$

この公式から、極板面積 $S$ や誘電率 $\varepsilon$ が一定である場合、静電容量 $C$ は極板間距離 $d$ に反比例することがわかります。距離を離すほど静電容量は小さくなり、距離を近づけるほど静電容量は大きくなります。

また、充電されたコンデンサに蓄えられる静電エネルギー $W\ [\text{J}]$ は、電荷 $Q\ [\text{C}]$、静電容量 $C\ [\text{F}]$、端子間電圧 $V\ [\text{V}]$ を用いて次のように表されます。

$W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$

コンデンサの問題を解くうえで最も重要な点は、回路の接続状態によって「どの変数が一定に保たれるか」を見極めることです。

電源から分離されたコンデンサでは、電荷の逃げ道がないため電荷保存の法則により電荷 $Q$ が一定（不変）となります。このとき、静電エネルギーの算出には $W = \frac{Q^2}{2C}$ の形式を用いるのが適しています。電荷 $Q$ が固定されているため、静電エネルギー $W$ は静電容量 $C$ に反比例します。つまり、静電容量 $C$ が小さくなると、静電エネルギー $W$ は増加します。これは、電荷同士が引き合う静電気力に逆らって極板を引き離す際に、外部から加えられた機械的な作業（仕事）が静電エネルギーとして蓄えられるためです。

一方、電源に接続されたままの場合は電圧 $V$ が一定となるため、$W = \frac{1}{2}CV^2$ を使用します。この場合は静電エネルギーが静電容量 $C$ に比例するため、分離時と保持時で表式と挙動の混同を防ぐことが重要です。

平行平板コンデンサの距離変更に伴う状態変化

1. 極板間距離の変更に伴う静電容量の算出 初期の静電容量は $C_1 = 8\ \mu\text{F}$ です。極板間距離が元の $d$ から $2d$ へ $2$ 倍になると、静電容量の公式 $C = \varepsilon \frac{S}{d}$ より、静電容量は初期値の $\frac{1}{2}$ 倍に減少します。したがって、変化後の静電容量 $C_2$ は次のように求まります。 $C_2 = \frac{C_1}{2} = \frac{8\ \mu\text{F}}{2} = 4\ \mu\text{F}$

2. 初期状態における蓄積電荷量および初期静電エネルギーの算出 充電時の電圧は $V_1 = 1\ 000\text{ V}$、静電容量は $C_1 = 8\ \mu\text{F} = 8 \times 10^{-6}\text{ F}$ です。このときコンデンサに蓄えられた電荷量 $Q$ は次の通りです。 $Q = C_1 V_1 = 8 \times 10^{-6}\text{ F} \times 1\ 000\text{ V} = 8 \times 10^{-3}\text{ C}$ また、充電直後の初期静電エネルギー $W_1$ は次の通りです。 $W_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-6}\text{ F}) \times (1\ 000\text{ V})^2 = 4\text{ J}$

3. 電荷保持下での静電エネルギー変化の算出 電源から取り外された後は電荷保存の法則が成り立つため、電荷は $Q = 8 \times 10^{-3}\text{ C}$ のまま保持されます。静電容量が $C_2 = 4\ \mu\text{F} = 4 \times 10^{-6}\text{ F}$ に変化した後の静電エネルギー $W_2$ は次のように計算できます。 $W_2 = \frac{Q^2}{2 C_2} = \frac{(8 \times 10^{-3}\text{ C})^2}{2 \times (4 \times 10^{-6}\text{ F})} = \frac{64 \times 10^{-6}}{8 \times 10^{-6}} = 8\text{ J}$ 電荷 $Q$ が一定の条件では静電エネルギー $W$ は静電容量 $C$ に反比例するため、静電容量が $\frac{1}{2}$ になったことで、エネルギーは初期値 $4\text{ J}$ の $2$ 倍である $8\text{ J}$ に増加します。電圧 $V$ が一定であると誤認して $W = \frac{1}{2}CV^2$ を適用すると、エネルギーが半分の $2\text{ J}$ に減少すると誤解することになります。

電源を外した後の電荷の保持と、引き離される極板間距離の変化に着目してみると、外力によって与えられた仕事が静電エネルギーへ蓄積される関係が見えてきます。

参考リンク

• 電験3種 理論 平行平板コンデンサの静電エネルギー（電験王）
• 【高校物理】静電エネルギーの導出とコンデンサの引っ張り（YouTube）
• コンデンサーと静電エネルギー（物理のかぎしっぽ）