令和8年度 上期 第3種 理論 問182 解説 問18(b)

この問題は、トランジスタ増幅回路の周波数特性、特に結合コンデンサ $C_1$ が増幅度にもたらす低域遮断周波数を求めるものです。与えられた回路定数と条件「$R_A || R_B >> h_{ie}$」に基づき、コンデンサ $C_1$ から見た等価抵抗を $h_{ie}$ と近似することで、電圧増幅度が $1/\sqrt{2}$ になる周波数は約 5.3 Hz と算出されます。したがって、最も近い選択肢は 5.3 Hz です。

遮断周波数とRCハイパスフィルタの特性

この問題の鍵は、交流信号が通過する経路に直列に挿入されたコンデンサ $C_1$ の影響を理解することです。コンデンサは直流を遮断し、交流は通過させますが、その通過のしやすさは周波数によって異なります。低い周波数ではコンデンサのインピーダンスが大きくなり、信号が減衰します。

増幅回路において、結合コンデンサ $C_1$ が入力側にある場合、信号源 $v_i$ とトランジスタの入力との間にRCハイパスフィルタを形成します。このフィルタの特性により、ある特定の周波数以下では増幅度が低下します。

電圧増幅度が「本来の増幅度の $1/\sqrt{2}$」となる周波数は、**遮断周波数（またはカットオフ周波数、3dB減衰点）**と呼ばれます。この遮断周波数 $f_c$ は、RC回路の抵抗 $R$ と容量 $C$ を用いて以下の式で表されます。

$f_c = \frac{1}{2 \pi R C}$

ここで $R$ はコンデンサから見た等価抵抗です。ハイパスフィルタの場合、コンデンサの入力側にある信号源の内部抵抗（通常は0と見なす）と、出力側にある負荷抵抗の合成抵抗が $R$ になります。

遮断周波数の算出

それでは、この性質と与えられた条件を問題に適用し、遮断周波数を計算していきましょう。

1. コンデンサ $C_1$ から見た等価抵抗 $R_{in}$ の特定

図1の入力回路を見ると、信号源 $v_i$ の後に結合コンデンサ $C_1$ が直列に接続されています。その $C_1$ の右側には、トランジスタのベース、そしてベースバイアス抵抗 $R_A$ と $R_B$ が接続されています。 交流小信号回路において、トランジスタのベースから見た入力インピーダンスは $h_{ie}$ で表されます。また、バイアス抵抗 $R_A$ と $R_B$ は、交流的には並列に接続されていると見なせます。 したがって、コンデンサ $C_1$ から見た等価抵抗 $R_{in}$ は、$R_A$, $R_B$, $h_{ie}$ の並列合成抵抗として計算されます。

$R_{in} = R_A || R_B || h_{ie}$

まず、$R_A$ と $R_B$ の並列合成抵抗を計算します。 $R_A || R_B = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B} = \frac{100 \text{ kΩ} \times 600 \text{ kΩ}}{100 \text{ kΩ} + 600 \text{ kΩ}} = \frac{60000}{700} \text{ kΩ} = \frac{600}{7} \text{ kΩ} \approx 85.71 \text{ kΩ}$

次に、この $R_A || R_B$ と $h_{ie}$ の並列合成抵抗を計算します。 $h_{ie} = 3 \times 10^3 \text{ Ω} = 3 \text{ kΩ}$ $R_{in} = (R_A || R_B) || h_{ie} = \frac{(R_A || R_B) \times h_{ie}}{(R_A || R_B) + h_{ie}} = \frac{(600/7 \text{ kΩ}) \times 3 \text{ kΩ}}{(600/7 \text{ kΩ}) + 3 \text{ kΩ}}$ $R_{in} = \frac{1800/7}{621/7} \text{ kΩ} = \frac{1800}{621} \text{ kΩ} \approx 2.8986 \text{ kΩ}$

2. 近似条件の適用

問題文には「$R_A || R_B >> h_{ie}$ と考えられるとき」という条件が提示されています。 実際に計算した $R_A || R_B \approx 85.71 \text{ kΩ}$ と $h_{ie} = 3 \text{ kΩ}$ を比較すると、$R_A || R_B$ は $h_{ie}$ より非常に大きいことが分かります。 ここで、抵抗の並列合成における近似の法則を適用します。2つの抵抗 $R_1$ と $R_2$ が並列接続されていて、$R_1 >> R_2$ の場合、その合成抵抗はほぼ小さい方の抵抗 $R_2$ に等しくなります。 $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \approx \frac{R_1 R_2}{R_1} = R_2$ この法則を $R_{in} = (R_A || R_B) || h_{ie}$ に適用すると、$R_A || R_B$ が $h_{ie}$ より非常に大きいため、等価抵抗 $R_{in}$ は $h_{ie}$ に近似できます。 $R_{in} \approx h_{ie} = 3 \times 10^3 \text{ Ω}$

この近似が、問題が意図する解法であると判断できます。

3. 遮断周波数 $f_L$ の計算

コンデンサ $C_1 = 10 \text{ μF} = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$ と、近似した等価抵抗 $R_{in} = 3 \times 10^3 \text{ Ω}$ を遮断周波数の式に代入します。

$f_L = \frac{1}{2 \pi C_1 R_{in}} = \frac{1}{2 \pi \times (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (3 \times 10^3 \text{ Ω})}$ $f_L = \frac{1}{2 \pi \times 30 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.06 \pi}$

$\pi \approx 3.14159$ を用いて計算すると、 $f_L = \frac{1}{0.06 \times 3.14159} = \frac{1}{0.1884954} \approx 5.305 \text{ Hz}$

この計算結果は、選択肢の 5.3 Hz と非常によく一致します。

図1の入力回路に目を戻すと、結合コンデンサ $C_1$ が信号源からトランジスタのベースへ信号を伝える役割を果たしています。この $C_1$ と、その先に繋がるトランジスタの入力抵抗（$h_{ie}$ とバイアス抵抗 $R_A || R_B$ の並列合成）が、今回の遮断周波数を決定するRCフィルタを形成していることが見えてきます。

参考リンク

• RCフィルタの基本｜計算式とグラフでわかるローパス・ハイパスフィルタ
• トランジスタの基礎と増幅回路(4/8) - エミッタ接地増幅回路設計 - YouTube
• カットオフ周波数 - ETOPIA