令和6年度 下期 学科試験 問2 解説

flowchart TD
  A["R ∝ L/A"] --> B["d_B = 2 d_A"]
  B --> C["A_B = 4 A_A"]
  C --> D["R_A ∝ 20/S"]
  C --> E["R_B ∝ 40/(4S)=10/S"]
  D --> F["R_A/R_B = 2"]
  E --> F

この問題は、電線の抵抗が「長さ」と「断面積」によって決まるという法則を使って解きます。以下の計算手順で答えを導き出します。

手順1：抵抗と寸法の関係式を整理する 電線の抵抗Rは、抵抗率をρ、長さをL、断面積をAとして、$R = ρ \times \frac{L}{A}$ と表されます。同材質のためρは無視して、比例関係のみに注目します。

手順2：断面積の比を求める 断面積Aは直径dの2乗に比例します（$A = \pi \times (\frac{d}{2})^2$）。 Aの直径を1.6mm、Bの直径を3.2mmとすると、BはAの2倍の直径です。そのため、断面積は $2^2 = 4$倍となります。 Aの断面積を$S$とおくと、Bの断面積は$4S$です。

手順3：比率を計算する Aの抵抗 $R_A \propto \frac{20}{S}$ Bの抵抗 $R_B \propto \frac{40}{4S} = \frac{10}{S}$

求める倍率は $R_A / R_B$ なので、 $\frac{20}{S} \div \frac{10}{S} = \frac{20}{10} = 2$ よって、Aの抵抗はBの抵抗の2倍となります。

抵抗を決定する要素 電気配線において、電線の抵抗値は「長ければ長いほど大きく、太ければ太いほど小さくなる」という性質があります。 式で見ると、長さLは分子にあり、断面積Aは分母にあります。つまり、長さは抵抗に比例し、断面積は抵抗に反比例します。今回のように直径が変わる場合、断面積は直径の2乗に比例することを忘れないようにしましょう。

実務と試験での応用 この問題で用いた「太さ（断面積）と抵抗の関係」は、電圧降下を計算する際に非常に重要です。 現場での配線距離が長くなるほど抵抗が増えて電圧が下がってしまうため、電圧降下を抑えるために太い電線を選定するという判断が求められます。また、試験では「断面積が2倍になれば抵抗は半分になる」「直径が2倍になれば断面積は4倍になり、抵抗は4分の1になる」という関係性を素早く変換できるかが合格への鍵となります。

試験対策として、具体的な数値だけでなく、倍率の関係のみ（長さが2倍なら抵抗2倍、断面積が4倍なら抵抗は1/4倍）で計算する練習をしておくと、計算ミスを大幅に減らすことができます。