平成24年度 秋期 ITパスポート試験 問66 解説 10進数から2進数への変換

2進数で有限小数になる条件

10進数の小数を2進数に変換したとき、有限小数で表せるのは、その数を既約分数（これ以上約分できない分数）にした際の分母が「2の累乗（2, 4, 8, 16...）」の形になる場合のみです。選択肢のうち、分母が2の累乗になっているものを選べば正解にたどり着きます。

10進数と2進数の関係

10進数の小数を2進数で表すと、小数点以下の各桁は、左から順に $2^{-1} (0.5), 2^{-2} (0.25), 2^{-3} (0.125), 2^{-4} (0.0625) ...$ という値を足し合わせていくことになります。

つまり、2進数の有限小数は「 $1/2$ や $1/4$ や $1/8$ などをいくつか足し合わせた値」でなければなりません。これを分数に直すと、分母が必ず $2^n$ の形になります。逆に言えば、分母に2以外の素因数（3や5など）が含まれている場合、その数は2進数に変換すると無限に続く循環小数になってしまいます。

選択肢を分数で分析する

各選択肢を分数に直して分母を確認しましょう。

• ア $0.1 = 1/10 = 1 / (2 \times 5)$：分母に5が含まれるため循環小数になります。
• イ $0.2 = 2/10 = 1/5$：分母に5が含まれるため循環小数になります。
• ウ $0.4 = 4/10 = 2/5$：分母に5が含まれるため循環小数になります。
• エ $0.5 = 5/10 = 1/2$：分母が $2^1$ です。これは $2^n$ の形なので有限小数です。

このように、分母の素因数分解を確認するだけで、計算をしなくても有限小数かどうかを判定できます。

プログラミングと精度の問題

この知識は、単なる算数の問題にとどまらず、プログラミングを行う現場で非常に重要になります。コンピュータの内部では数値がすべて2進数で処理されているため、0.1のような10進数ではきれいな有限小数でも、2進数に変換すると「0.000110011...」というように無限に続いてしまいます。

そのため、プログラミング言語で $0.1 + 0.2$ を計算させると、正確に $0.3$ とならず、ごくわずかな誤差が発生することがあります。これを「浮動小数点数誤差」と呼びます。金融システムや科学技術計算など、正確性が求められるプログラムを組む際、プログラマはこの特性を理解し、誤差を考慮した処理や、あるいは誤差の出ないデータ型の選択を行う必要があります。この問題は、コンピュータの計算の根底にある「表現の限界」を理解するための第一歩となる重要なトピックです。

参考リンク

• 10進数の小数を2進数に変換する方法（ITパスポート受験対策サイト）
• 浮動小数点数の誤差（0.1 + 0.2 が 0.3 にならない理由を解説している記事）
• 浮動小数点数（IEEE 754規格に関するWikipedia解説）