令和4年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問151 解説 問15(a) 大問15

正答は17.3Ωです。これは、Y結線されたインピーダンスとΔ結線されたインピーダンスを等価変換し、線電流と相電流の関係を考慮することで導かれます。

平衡三相負荷におけるY結線とΔ結線の等価変換

この問題では、抵抗と誘導性リアクタンスで構成されるY結線負荷と、抵抗のみで構成されるΔ結線負荷が接続されています。これらの負荷を解析するためには、Y結線とΔ結線の等価変換の考え方が不可欠です。

• Y-Δ変換: Y結線の各相インピーダンスを $Z_Y$ とするとき、これと等価なΔ結線の各相インピーダンス $Z_\Delta$ は、以下の関係で求められます。 $Z_\Delta = 3 Z_Y$
• Δ-Y変換: Δ結線の各相インピーダンスを $Z_\Delta$ とするとき、これと等価なY結線の各相インピーダンス $Z_Y$ は、以下の関係で求められます。 $Z_Y = \frac{1}{3} Z_\Delta$

この問題では、Y結線されている抵抗 $6\Omega$ と誘導性リアクタンス $8\Omega$ の組み合わせを、Δ結線されている抵抗 $r[\Omega]$ と等価な負荷として扱うために、Y-Δ変換を行います。

回路の解析手順

1. Y結線部分のインピーダンスの合成: Y結線されている抵抗 $6\Omega$ と誘導性リアクタンス $8\Omega$ は直列に接続されています。したがって、Y結線の一相あたりのインピーダンス $Z_{Y,phase}$ は、 $Z_{Y,phase} = 6 + j8 [\Omega]$ となります。

2. Y結線部分をΔ結線に等価変換: このY結線部分を、等価なΔ結線負荷に変換します。Y-Δ変換の公式 $Z_\Delta = 3 Z_Y$ を用いると、等価なΔ結線負荷の一相あたりのインピーダンス $Z_{\Delta,equivalent}$ は、 $Z_{\Delta,equivalent} = 3 \times (6 + j8) = 18 + j24 [\Omega]$ となります。

3. 回路全体のインピーダンスの把握: 問題文では、Y結線されている抵抗 $6\Omega$ と誘導性リアクタンス $8\Omega$ に流れる電流の大きさを $I_s$、抵抗 $r[\Omega]$ に流れる電流の大きさを $I_r$ と定義しています。さらに、Y結線部分のインピーダンスとΔ結線部分のインピーダンスが並列に接続されていると解釈できます。 ここで、Y結線部分に流れる電流 $I_s$ は、Y結線の一相あたりにかかる電圧 $V_{Y,phase}$ を、Y結線の一相あたりのインピーダンス $Z_{Y,phase}$ で割ったものになります。 $I_s = \frac{V_{Y,phase}}{|Z_{Y,phase}|}$ 一方、Δ結線部分に流れる電流 $I_r$ は、Δ結線の一相あたりの電圧 $V_{\Delta,phase}$ を、Δ結線の一相あたりのインピーダンス $r$ で割ったものになります。

   ここで、電源電圧が200V（線間電圧）であり、Y結線負荷は電源に直接接続されているため、Y結線の一相あたりの電圧 $V_{Y,phase}$ は線間電圧 $V_L$ を $\sqrt{3}$ で割ったものになります。 $V_{Y,phase} = \frac{200}{\sqrt{3}} [V]$ Y結線の一相あたりのインピーダンスの大きさは、 $|Z_{Y,phase}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 [\Omega]$ したがって、 $I_s$ の大きさは、 $I_s = \frac{200/\sqrt{3}}{10} = \frac{20}{\sqrt{3}} [A]$

   次に、Δ結線部分に流れる電流 $I_r$ について考えます。Δ結線負荷に電源が接続されている場合、Δ結線の一相あたりの電圧 $V_{\Delta,phase}$ は線間電圧 $V_L$ と等しくなります。 $V_{\Delta,phase} = 200 [V]$ Δ結線の一相あたりのインピーダンスは $r[\Omega]$ です。したがって、 $I_r$ の大きさは、 $I_r = \frac{V_{\Delta,phase}}{r} = \frac{200}{r} [A]$

4. 電流の大きさが等しい条件からのrの算出: 問題文の条件より、電流 $I_s$ と $I_r$ の大きさが等しいとき、 $I_s = I_r$ $\frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{200}{r}$ この式を $r$ について解きます。 $r = \frac{200 \sqrt{3}}{20} = 10 \sqrt{3} [\Omega]$

   $\sqrt{3} \approx 1.732$ であるため、 $r \approx 10 \times 1.732 = 17.32 [\Omega]$

   この値に最も近い選択肢は 17.3 です。

抵抗 $r[\Omega]$ の値が 17.3Ω に最も近くなることを、Y結線とΔ結線の等価変換、および線電流と相電流の関係に注目して確認できます。

参考リンク

• Y結線とΔ結線の等価変換について
• 三相交流回路の計算問題（Y-Δ変換、Δ-Y変換）
• Three-Phase Circuits - Y-Δ and Δ-Y Conversions