令和4年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問20 解説 問2 問2

正答は、導体球の電荷 $Q$ は正であり ($Q>0$)、その電位 $U$ は $0 < U < E$ の範囲にある、というものです。

電気力線と電荷の符号

電気力線は、正電荷から出て負電荷へ向かう線であり、電場の方向を示します。図では、導体球から電気力線が外側に向かって伸びている様子が描かれています。これは、導体球が周囲の空間に対して電場を発生させていることを意味し、電気力線の発生源となる電荷は正であることを示します。したがって、電荷 $Q$ は正、$Q>0$ です。

電位と位置の関係

平行板コンデンサにおいて、上下の極板間に一様な電場が存在する場合、電位は極板間の距離に比例して変化します。この問題では、上側極板の電位が $E[\text{V}]$、下側極板の電位が $-E[\text{V}]$ と設定されています。この電位差は $E - (-E) = 2E[\text{V}]$ です。 仮に、極板間の距離を $d$ とすると、極板間の電場 $E'$ は $E' = \frac{2E}{d}$ という一定の値をとります（導体球の影響を無視した場合）。この一様な電場において、上側極板と下側極板の中点（高さが $d/2$ の位置）の電位は、線形補間により $\frac{E + (-E)}{2} = 0[\text{V}]$ となります。

この問題では、導体球は上下極板の空間の中心に位置しています。上側極板の電位が正 ($E>0$)、下側極板の電位が負 ($-E$) であり、中点の電位が $0\text{V}$ となることを考えると、導体球の電位 $U$ は、この中心位置の電位 $0\text{V}$ と、上側極板の電位 $E\text{V}$ との間にあると推測されます。 また、導体球自身が電荷 $Q$ を帯びているため、その電荷が周囲の電場に影響を与えます。図に示されている電気力線の様子から、導体球の存在によって、その周囲の電場が乱されていることがわかります。しかし、導体球は中心に位置しており、上側極板から離れるほど電位が下がり、下側極板に近づくほど電位が上がるという一般的な傾向は維持されると考えられます。 導体球から発生する電気力線が上向き（上側極板側）と下向き（下側極板側）の両方に広がっていることから、導体球の周りの電場は複雑になっています。しかし、導体球が空間の中心にあり、上下の極板間の電位差が対称的であることから、導体球の電位は $0\text{V}$ と上側極板の電位 $E\text{V}$ の間に存在すると考えるのが妥当です。具体的には、導体球から発せられる正の電荷による電位上昇効果と、上側極板からの距離による電位低下効果、下側極板からの距離による電位上昇効果が組み合わさった結果、電位 $U$ は $0 < U < E$ となります。

判断ステップ

1. 電気力線の方向から導体球の電荷の符号を特定する。 図に示された電気力線は導体球から外側へ向かっているので、導体球は正電荷を帯びています。したがって、$Q>0$ です。

2. 平行板コンデンサの電位分布と導体球の位置から、導体球の電位の範囲を推定する。 上側極板の電位は $E[\text{V}]$、下側極板の電位は $-E[\text{V}]$ です。空間の中心は、電位が $0[\text{V}]$ となる仮想的な位置に相当します。導体球はこの中心に置かれています。

3. 導体球の電荷と位置による電位への影響を考慮する。 導体球が正電荷 $Q>0$ を帯びているため、その周囲の空間の電位を上昇させます。しかし、導体球は上下の極板の中間に位置しており、上側極板の電位が $E$、下側極板の電位が $-E$ であることを考慮すると、導体球の電位 $U$ は、単に中心の $0\text{V}$ よりも高くなりますが、上側極板の電位 $E$ を超えることはありません。もし $U=E$ ならば、導体球は上側極板と同じ電位になり、電気力線は導体球から上側極板へ向かうことになりますが、図ではそのような様子は見られません。また、$U>E$ となると、導体球の電位が上側極板よりも高くなってしまい、図の電気力線の描かれ方と矛盾します。したがって、$0 < U < E$ の範囲にあると判断できます。

上側極板の電位 $E$ と、導体球から発せられる電気力線の様子を重ねてみると、導体球の電位が $E$ より低いことがわかります。

参考リンク

• 電気力線とは？電気力線の性質と電場、電位との関係
• 【静電場】第1種・第2種・第3種主任技術者試験の過去問解説！
• 電気力線