令和4年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問60 解説 問6 問6

問60：コンデンサ回路の比較における誤り

正答は「図2の回路に、さらに静電容量C[F]のコンデンサを直列に二つ追加して、四つのコンデンサが直列になるようにすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図1と等しくなる。」です。この選択肢が誤りである理由は、追加後の回路のエネルギーが図1の回路のエネルギーと等しくならないためです。

コンデンサの合成静電容量と蓄積エネルギー

コンデンサ回路の性質を理解するためには、合成静電容量の計算方法と、コンデンサに蓄えられる電界のエネルギーの公式が重要になります。

1. 合成静電容量

• 並列接続: 複数のコンデンサが並列に接続されている場合、合成静電容量 $C_{total}$ は各コンデンサの静電容量 $C_1, C_2, \dots$ の和になります。 $C_{total} = C_1 + C_2 + \dots$
• 直列接続: 複数のコンデンサが直列に接続されている場合、合成静電容量 $C_{total}$ は、各コンデンサの静電容量の逆数の和の逆数になります。 $\frac{1}{C_{total}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$ 2つのコンデンサ $C_1, C_2$ が直列の場合、$C_{total} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ となります。

2. コンデンサに蓄えられる電界のエネルギー

コンデンサに蓄えられる電界のエネルギー $W$ は、以下のいずれかの式で表されます。 $W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}QV$ ここで、$C$ は静電容量 [F]、$V$ は電圧 [V]、$Q$ は電荷 [C] です。

各選択肢の検討

問題文の図1と図2の回路、および各選択肢について、上記の法則を用いて判断していきます。

図1の回路:

• 2つのコンデンサ $C$ [F] が並列に接続されています。
• 合成静電容量 $C_{1,total} = C + C = 2C$ [F]
• コンデンサ全体に蓄えられるエネルギー $W_1 = \frac{1}{2} C_{1,total} E^2 = \frac{1}{2} (2C) E^2 = CE^2$ [J]
• 各コンデンサに蓄えられる電荷 $Q_{1,each} = C E$ [C] （並列なので電源電圧 $E$ がそのままかかります）

図2の回路:

• 2つのコンデンサ $C$ [F] が直列に接続されています。
• 合成静電容量 $C_{2,total} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ [F]
• コンデンサ全体に蓄えられるエネルギー $W_2 = \frac{1}{2} C_{2,total} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{C}{2}) E^2 = \frac{1}{4} CE^2$ [J]
• 直列回路なので、各コンデンサにかかる電圧は電源電圧 $E$ を静電容量の比で分担します。ここでは静電容量が等しいため、各コンデンサにかかる電圧は $E/2$ となります。
• 各コンデンサに蓄えられる電荷 $Q_{2,each} = C \times (E/2) = \frac{1}{2} CE$ [C] （直列なので電荷は等しくなります）

それでは、各選択肢を検証します。

• 選択肢(1): 図1の回路の合成静電容量は、図2の回路の4倍である。 図1の合成静電容量は $2C$、図2の合成静電容量は $C/2$ です。 $2C / (C/2) = 2C \times (2/C) = 4$ したがって、図1の合成静電容量は図2の4倍であり、この選択肢は正しいです。

• 選択肢(2): コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは、図1の回路の方が図2の回路よりも大きい。 $W_1 = CE^2$、$W_2 = \frac{1}{4} CE^2$ です。 $W_1 > W_2$ であるため、図1の回路の方がエネルギーは大きく、この選択肢は正しいです。

• 選択肢(3): 図2の回路に、さらに静電容量C[F]のコンデンサを直列に二つ追加して、四つのコンデンサが直列になるようにすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図1と等しくなる。 図2の回路に静電容量 $C$ のコンデンサを二つ直列に追加すると、合計4つの $C$ [F] のコンデンサが直列接続されます。 この新しい回路の合成静電容量 $C_{3,total}$ は、 $\frac{1}{C_{3,total}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$ $C_{3,total} = \frac{C}{4}$ [F] この回路に蓄えられるエネルギー $W_3$ は、 $W_3 = \frac{1}{2} C_{3,total} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{C}{4}) E^2 = \frac{1}{8} CE^2$ [J] 図1の回路のエネルギー $W_1 = CE^2$ と比較すると、$W_3 = \frac{1}{8} W_1$ であり、等しくなりません。したがって、この選択肢は誤りです。

• 選択肢(4): 図2の回路の電源電圧を2倍にすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図1の回路と等しくなる。 図2の回路の電源電圧を $2E$ にすると、蓄えられるエネルギー $W_{2'}$ は、 $W_{2'} = \frac{1}{2} C_{2,total} (2E)^2 = \frac{1}{2} (\frac{C}{2}) (4E^2) = CE^2$ [J] これは図1の回路のエネルギー $W_1$ と等しくなります。したがって、この選択肢は正しいです。

• 選択肢(5): 図1のコンデンサー一つ当たりに蓄えられる電荷は、図2のコンデンサー一つ当たりに蓄えられる電荷の2倍である。 図1では、各コンデンサにかかる電圧は $E$ であり、蓄えられる電荷は $Q_{1,each} = C E$ です。 図2では、各コンデンサにかかる電圧は $E/2$ であり、蓄えられる電荷は $Q_{2,each} = C \times (E/2) = \frac{1}{2} CE$ です。 $Q_{1,each} / Q_{2,each} = (CE) / (\frac{1}{2} CE) = 2$ したがって、図1のコンデンサー一つ当たりに蓄えられる電荷は、図2のコンデンサー一つ当たりに蓄えられる電荷の2倍であり、この選択肢は正しいです。

以上の検討から、誤っている選択肢は(3)です。

参考リンク

• コンデンサの直列・並列接続と合成静電容量
• 電気基礎講座：コンデンサに蓄えられるエネルギー
• コンデンサ (キャパシタ)

図1と図2の回路構成、それぞれの合成静電容量、そしてコンデンサに蓄えられるエネルギーの関係を改めて確認してみましょう。