問18(b) 図1のブロック線図において，閉ループ周波数伝達関数G(jω)=X(jω)/Y(jω)で，ゲインKが非常に大きな場合の近似式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。なお，この近似式が成立する場合，この演算回路は比例プラス積分要素と呼ばれる。

令和5年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目問182 解説問18(b) 問18

ゲインKが非常に大きいという条件の下では、フィードバック制御系の閉ループ伝達関数がフィードバック要素の逆数に近似されるため、本設問の伝達関数は1+1/(jωCR)となります。

図1に示すブロック線図は、入力Y(jω)が加算点に入り、ゲインKの要素を通って出力X(jω)となり、さらにG1(jω)を通って負帰還される構成です。このとき、閉ループ周波数伝達関数G(jω)は一般に以下の式で表されます。

$G(jω) = \frac{K}{1 + K \cdot G_1(jω)}$

ここで、Kが非常に大きい（K→∞）と仮定すると、分母の1はK・G1(jω)に比べて無視できるほど小さくなります。結果として、この式は次のように簡略化されます。

$G(jω) ≒ \frac{K}{K \cdot G_1(jω)} = \frac{1}{G_1(jω)}$

この式から分かるように、大きなゲインを持つ増幅器に負帰還をかけた系では、全体の伝達特性がフィードバック要素G1(jω)の逆数によって決定されます。

前問（a）から、図2の回路が示すフィードバック要素G1(jω)は、以下の通りであることが分かっています。

$G_1(jω) = \frac{jωCR}{1 + jωCR}$

この要素を上記の近似式へ当てはめて計算を進めます。

近似式にG1(jω)の値を代入します。 $G(jω) ≒ \frac{1}{G_1(jω)} = \frac{1}{\frac{jωCR}{1 + jωCR}}$
分母の分数を逆数にして掛け合わせます。 $G(jω) ≒ \frac{1 + jωCR}{jωCR}$
式を変形して加算の形に分解します。 $G(jω) ≒ \frac{1}{jωCR} + \frac{jωCR}{jωCR} = 1 + \frac{1}{jωCR}$

この結果は、1（比例要素）と1/(jωCR)（積分要素）の和で表されるため、比例プラス積分（PI）制御の特性を示していることが確認できます。

図1のフィードバックループにおける戻り信号と、図2の回路による入力信号の減衰過程を重ねてみると、負帰還による演算器の動作が見えてきます。