問2 界磁に永久磁石を用いた小形直流電動機がある。この電動機の電機子に12Vの電圧を加えたところ,無負荷の状態で3000min^-1で回転した。この電圧を維持したまま負荷を与えて,2Aの電機子電流を流したところ,損失が3W発生した。この時の回転数[min^-1]として,最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし,ブラシの接触による電圧降下及び電機子反作用は無視できるものとし,損失は電機子巻線の銅損しか存在しないものとする。

令和5年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目問20 解説問2 問2

永久磁石を用いた直流電動機において、電機子抵抗による電圧降下を差し引いた逆起電力の値に基づき、比例関係から回転数を算出することで、負荷時の回転数は2625min^-1となります。

直流電動機の電機子回路では、端子電圧を $V$ 、電機子電流を $I_a$ 、電機子抵抗を $R_a$ 、逆起電力を $E$ とすると、次の電圧方程式が成り立ちます。

$V = E + I_a R_a$

ここで、逆起電力 $E$ は磁束 $\Phi$ と回転数 $N$ に比例し、 $E = k\Phi N$ （ $k$ は比例定数）と表されます。本問のように界磁に永久磁石を用いる場合、磁束 $\Phi$ は一定であるため、逆起電力は回転数のみに比例します。

無負荷のとき、電機子電流はほぼゼロであるため、端子電圧はそのまま逆起電力となります。この状態を基準にすることで、電動機固有の定数である $k\Phi$ を特定できます。

電動機の状態変化を、次のステップで順に追います。

無負荷時の逆起電力と比例定数の特定無負荷時は電機子電流 $I_a = 0$ であるため、逆起電力 $E_0 = V = 12$ Vです。このときの回転数 $N_0 = 3000$ min^-1を用いて、比例定数 $k\Phi$ を求めます。 $k\Phi = E_0 / N_0 = 12 / 3000 = 0.004$ V/(min^-1)
電機子抵抗の算出負荷を与えた際に発生した損失 $P = 3$ Wが、電機子巻線の銅損（ $I_a^2 R_a$ ）のみであるという条件を用います。電流 $I_a = 2$ Aのとき、 $3 = 2^2 \times R_a = 4 R_a$ $R_a = 3 / 4 = 0.75$ $\Omega$
負荷時の逆起電力と回転数の決定負荷時の端子電圧12Vから、内部の電圧降下を引いた値がこの時の逆起電力 $E$ となります。 $E = V - I_a R_a = 12 - (2 \times 0.75) = 12 - 1.5 = 10.5$ V 先ほど求めた比例定数 $k\Phi = 0.004$ を用いて、回転数 $N$ を導きます。 $N = E / (k\Phi) = 10.5 / 0.004 = 2625$ min^-1

電機子回路の電圧バランスと回転数の比例関係を重ねてみると、電流が増えることで失われる電圧分と、それに伴う回転の減少が見えてきます。