令和5年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問40 解説 問4 問4

無限に長い直線状導体Aが作る磁束密度により、ループ状導体Bの各辺に働く電磁力の合力が、導体Aから遠ざかる方向へ作用するため、この電磁力は$\frac{\mu_0 I_A I_B a^2}{2\pi d(a+d)}$ [N]の+x方向となります。

アンペールの法則とフレミングの左手の法則

電流が流れる導体が磁界中にあるとき、その導体には電磁力が働きます。この現象を理解するには、まず電流が作る磁界の強さを知る必要があります。無限に長い直線状導体に電流 $I$ [A]が流れている場合、そこから距離 $r$ [m]の場所における磁束密度 $B$ [T]は、アンペールの法則に基づき、以下の式で表されます。

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

ここで、磁界中にある導体の一部が受ける力 $F$ [N]は、フレミングの左手の法則に従います。電流 $I$ [A]、磁束密度 $B$ [T]、導体の長さ $l$ [m]とすると、これらの関係は $F = B I l$ となります。磁界の向きと電流の向きが直交している場合、この力が導体に対して垂直に働きます。

ループ状導体Bに働く力の分析

導体Aと導体Bの配置関係から、導体Bの4つの辺に働く力をステップごとに確認します。

1. 磁束密度の分布 導体Aに流れる電流 $I_A$ によって、導体Bが存在する位置には、図のy軸負の方向（紙面裏側から表側へ向かう向き）の磁束密度が生じています。導体Aに近い辺ほど、磁束密度は強く、遠い辺ほど弱くなります。

2. z軸と平行な2辺に働く力 導体Bには、導体Aと平行な2本の辺があります。近い方の辺には導体Aと同じ向きの電流 $I_B$ が流れているため、両者の間には吸引力が働きます。一方、遠い方の辺には逆向きの電流成分（ループを回る成分）が流れているため、導体Aからは反発力を受けます。このとき、近い辺の磁束密度は $B_1 = \frac{\mu_0 I_A}{2\pi d}$、遠い辺の磁束密度は $B_2 = \frac{\mu_0 I_A}{2\pi (d+a)}$ です。

3. 合力の算出 フレミングの左手の法則に基づき、近い辺に働く引力 $F_1 = B_1 I_B a$ と、遠い辺に働く斥力 $F_2 = B_2 I_B a$ を求めます。電流 $I_A$ と $I_B$ が並行して流れているため、全体の力はこれら2つの力の差となり、導体Aに近い側の引力が勝るため、導体Aに向かう引力が全体の力となります。しかし、図で電流の向きを精査すると、近い辺と遠い辺では $I_B$ の流れるz軸方向の成分が逆向きであることがわかります。結果として、遠い辺の斥力の方が相対的に強まり、全体として導体Aから離れる方向、つまり+x方向へ押し出される力が残ります。

4. x軸と平行な2辺の扱い 残る上下の辺については、互いに逆向きの電流が流れており、かつ導体Aからの距離も対称であるため、互いに打ち消し合い、合力はゼロとなります。

最終的に導体Aとの距離の差分を考慮して計算すると、力は $F = F_2 - F_1$ の差分として導かれ、選択肢の計算式と一致します。

導体Aに流れる電流の向きと、ループ状導体Bの各辺を流れる電流の方向を重ねてみると、導体B全体が受ける力の向きが浮かび上がってきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験の過去問解説 - 磁気回路と電磁力
• Pythonで電磁気学のベクトル場を可視化して遊ぶ方法
• 電磁気学の基礎となるマクスウェル方程式 - 電気磁気学の定義