令和5年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問60 解説 問6 問6

抵抗6Ωの両端に加わる電圧は、回路全体の各枝路の電圧と抵抗値をミルマンの定理に当てはめることで12Vと求められます。

ミルマンの定理の仕組み

ミルマンの定理は、複数の電圧源と抵抗が並列に接続された回路において、その並列部分の接続点間に生じる電圧を求めるための法則です。回路の各枝路が「電圧源$E$」と「抵抗$R$」の直列接続で構成されている場合、その並列回路の電圧$V$は以下の式で表されます。

$V = \frac{\sum \frac{E}{R}}{\sum \frac{1}{R}}$

ここで、$\sum \frac{E}{R}$は各枝路の電流源成分の和、$\sum \frac{1}{R}$は各枝路のコンダクタンス（抵抗の逆数）の和です。この定理は、回路を単純なノード電圧法で解くための簡略化された手順といえます。適用には、回路が複数の並列枝路に分かれており、各枝路の電圧と抵抗値が明確であるという条件が必要です。

回路への適用手順

提供された回路図をミルマンの定理の形式に合わせて整理します。図には3つの枝路が並列に並んでいます。

1. 各枝路の情報を整理します。 左側の枝路は電圧$21V$、抵抗$5Ω$です。中央の枝路は電圧源が存在しないため$0V$、抵抗$6Ω$です。右側の枝路は電圧$14V$、抵抗$10Ω$です。

2. 各枝路の電流成分を計算します。 それぞれの枝路について、電圧を抵抗で割った値を算出します。 左側：$21 / 5 = 4.2$ [A] 中央：$0 / 6 = 0$ [A] 右側：$14 / 10 = 1.4$ [A] これらの和をとると、$4.2 + 0 + 1.4 = 5.6$ となります。

3. 各枝路のコンダクタンスの和を計算します。 抵抗の逆数を合計します。 $1/5 + 1/6 + 1/10 = 0.2 + 0.166... + 0.1 = 0.466...$ 分数で表すと、$6/30 + 5/30 + 3/30 = 14/30$ となります。

4. 回路の電圧を決定します。 手順2で求めた値（$5.6$）を手順3で求めた値（$14/30$）で割ります。 $V = 5.6 / (14/30) = 5.6 \times 30 / 14 = 0.4 \times 30 = 12$ [V]

並列接続された各枝路の抵抗値や電圧源の向きを改めて図の構成に重ねてみると、電流が流れ込む様子や電圧のバランスが見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験の攻略法 - ミルマンの定理の活用
• 回路シミュレータで学ぶミルマンの定理の挙動
• ミルマンの定理の定義と導出（電気回路の基礎理論）