令和5年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問90 解説 問9 問9

電圧 $e$ と電流 $i$ が複数の周波数成分（非正弦波）から構成されているとき、その回路の全有効電力は、各周波数成分（次数）ごとの有効電力の和として求められるため、基本波と第3高調波の電力を個別に計算して合計することで $1.08\,\text{kW}$ という値が得られます。

非正弦波交流の電力の考え方

電圧や電流が正弦波以外の形をしている非正弦波交流において、消費される有効電力 $P$ を求める際には、異なる周波数成分の間では互いに電力を供給し合わないという性質を利用します。これにより、全電力 $P$ は各次数 $n$ ごとの電圧の実効値 $V_n$、電流の実効値 $I_n$、およびそれぞれの位相差 $\theta_n$ を用いて以下の式で表されます。

$P = \sum V_n I_n \cos(\theta_n) = V_1 I_1 \cos(\theta_1) + V_3 I_3 \cos(\theta_3) + \cdots$

ここで、各成分の有効電力は、交流回路の電力公式 $P = VI \cos\theta$ を各次数の成分に適用するだけです。計算にあたっては、与えられた式の最大値（振幅）を実効値に直すために $\sqrt{2}$ で割る必要があります。

各成分の電力計算

与えられた電圧 $e = 100\sin(\omega t) + 50\sin(3\omega t - \pi/6)$ [V] と電流 $i = 20\sin(\omega t - \pi/6) + 10\sqrt{3}\sin(3\omega t + \pi/6)$ [A] を用いて、ステップごとに計算します。

1. 基本波成分（$\omega$）の電力を求めます。 電圧の最大値は $100\,\text{V}$、電流の最大値は $20\,\text{A}$ です。実効値はそれぞれ $V_1 = 100/\sqrt{2}\,\text{V}$、$I_1 = 20/\sqrt{2}\,\text{A}$ となります。位相差は $\theta_1 = 0 - (-\pi/6) = \pi/6$ です。 したがって、基本波の電力 $P_1$ は $P_1 = \frac{100}{\sqrt{2}} \times \frac{20}{\sqrt{2}} \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3}\,\text{W}$ です。

2. 第3高調波成分（$3\omega$）の電力を求めます。 電圧の最大値は $50\,\text{V}$、電流の最大値は $10\sqrt{3}\,\text{A}$ です。実効値は $V_3 = 50/\sqrt{2}\,\text{V}$、$I_3 = 10\sqrt{3}/\sqrt{2}\,\text{A}$ となります。 位相差は電圧が $-\pi/6$、電流が $\pi/6$ なので、$\theta_3 = \pi/6 - (-\pi/6) = 2\pi/6 = \pi/3$ です。 したがって、第3高調波の電力 $P_3$ は $P_3 = \frac{50}{\sqrt{2}} \times \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{500\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = 125\sqrt{3}\,\text{W}$ です。

3. 全電力を求めます。 合計電力 $P = P_1 + P_3 = 500\sqrt{3} + 125\sqrt{3} = 625\sqrt{3}\,\text{W}$ です。 $\sqrt{3} \approx 1.732$ を代入すると、$P \approx 625 \times 1.732 = 1082.5\,\text{W}$ となり、単位を $\text{kW}$ に換算するとおよそ $1.08\,\text{kW}$ となります。

電圧の式に含まれる周波数の違いと、それぞれの電流成分が持つ位相のズレを重ねてみると、各調波が独立して運ぶエネルギーの姿が見えてきます。

参考リンク

• 非正弦波交流の電力（電気の資格攻略）
• 【Python】フーリエ級数展開と電力計算のシミュレーション（Qiita）
• 非正弦波交流の電力の定義（電気学会用語データベース）