令和5年度第三種電気主任技術者上期試験　機械科目 問90 解説 問9 問9

定格容量 50 kV・A の単相変圧器において、全負荷運転時の銅損と鉄損のデータから最大効率となる条件を求めると、約 98.0% の効率で運転できることが分かります。これは、変圧器の効率が最大となるのが、負荷時の銅損と鉄損が等しくなるときである「最大効率の原則」に基づいて、その条件での出力と損失を計算した結果です。

変圧器の効率と最大効率の条件

変圧器は、交流電力を異なる電圧・電流に変換する機器ですが、その過程で必ずエネルギーの損失が発生します。この損失が少ないほど効率が良い変圧器と言えます。 変圧器の効率 $\eta$ は、出力 $P_{out}$ を入力 $P_{in}$ で割ったもので、百分率で表す場合、次の式で計算されます。

$\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100 \text{ [\%]}$

また、入力 $P_{in}$ は出力 $P_{out}$ と損失 $P_L$ の合計なので、効率は次のようにも表せます。

$\eta = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_L} \times 100 \text{ [\%]}$

変圧器の主な損失は、以下の二種類です。

• 鉄損 ($P_i$): 変圧器の鉄心で発生する損失で、主にヒステリシス損と渦電流損からなります。鉄損は印加される電圧と周波数に依存し、負荷の大きさにはほとんど影響されず、ほぼ一定とみなされます。
• 銅損 ($P_c$): 変圧器の巻線で電流が流れることによって発生する抵抗損（ジュール熱）です。銅損は流れる電流の2乗に比例するため、負荷が大きくなる（電流が増える）と急激に増加します。負荷率を $m$（定格負荷を1としたときの実際の負荷の割合、つまり定格電流に対する実際の電流の割合）とすると、銅損は全負荷時の銅損 $P_{c, \text{full}}$ を用いて $m^2 P_{c, \text{full}}$ と表されます。

変圧器の全損失 $P_L$ は、これらの和として $P_L = P_i + m^2 P_{c, \text{full}}$ となります。

変圧器の効率が最も高くなる条件、つまり最大効率の条件は、鉄損と銅損が等しくなるときに達成されます。これは「最大効率の原則」として知られており、変圧器の運転において非常に重要な特性です。数式で表すと $P_i = m^2 P_{c, \text{full}}$ となります。この条件を満たす負荷率 $m$ を求めることで、最大効率での運転状態を特定できます。

また、本問では力率が1と指定されています。力率とは皮相電力に対する有効電力の割合であり、力率が1ということは、皮相電力と有効電力が等しいことを意味します。これにより、出力の計算が簡略化され、皮相電力の単位である kV・A がそのまま有効電力の kW として扱えます。

最大効率条件における効率の決定

最大効率となる条件での効率を、以下のステップで計算します。

1. 最大効率となる負荷率 $m$ を特定します。 変圧器が最大効率で運転されるのは、鉄損と銅損が等しくなるときです。 問題文より、全負荷時の銅損 $P_{c, \text{full}} = 1000 \text{ W}$、鉄損 $P_i = 250 \text{ W}$ です。 最大効率の条件 $P_i = m^2 P_{c, \text{full}}$ にこれらの値を代入します。 $250 \text{ W} = m^2 \times 1000 \text{ W}$ $m^2 = \frac{250}{1000} = 0.25$ $m = \sqrt{0.25} = 0.5$ したがって、最大効率となる負荷率は $0.5$、つまり定格容量の $50\%$ で運転していることになります。

2. 最大効率運転時の出力 $P_{out}$ を計算します。 定格容量は $50 \text{ kV}\cdot\text{A}$、力率は $1$ と問題文にあります。力率が1なので、皮相電力と有効電力は等しくなります。 負荷率 $m = 0.5$ のときの出力 $P_{out}$ は、定格容量に負荷率と力率を掛け合わせることで求められます。 $P_{out} = \text{定格容量} \times m \times \text{力率}$ $P_{out} = 50 \text{ kV}\cdot\text{A} \times 0.5 \times 1 = 25 \text{ kW}$

3. 最大効率運転時の全損失 $P_L$ を計算します。 最大効率の条件では、鉄損と銅損が等しくなります。 鉄損 $P_i = 250 \text{ W}$ ですので、このときの銅損も $250 \text{ W}$ です。 全損失 $P_L = \text{鉄損} + \text{銅損}$ $P_L = 250 \text{ W} + 250 \text{ W} = 500 \text{ W}$ 計算単位を kW に揃えるため、$P_L = 0.5 \text{ kW}$ とします。

4. 最大効率 $\eta$ を計算します。 効率の式 $\eta = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_L} \times 100 \text{ [\%]}$ に、ステップ2とステップ3で求めた値を代入します。 $\eta = \frac{25 \text{ kW}}{25 \text{ kW} + 0.5 \text{ kW}} \times 100 \text{ [\%]}$ $\eta = \frac{25}{25.5} \times 100 \text{ [\%]}$ $\eta \approx 0.98039 \times 100 \text{ [\%]}$ $\eta \approx 98.039 \text{ [\%]}$

したがって、最も近い選択肢は $98.0\%$ となります。

定格容量 50 kV・A の変圧器について、全負荷時の銅損 1000 W と鉄損 250 W の関係から、最大効率となる負荷率やそのときの出力と損失を順に追っていくと、変圧器の効率特性が明確に見えてきます。

参考リンク

• 変圧器の効率と最大効率の条件【電験三種】
• 【電験3種機械】これさえ知れば変圧器は得意！損失と最大効率
• 変圧器の仕組みと原理｜エレキ入門