問1 電極板面積と電極板間隔が共にS[m^2]とd[m]で、一方は比誘電率がεr1の誘電体からなる平行平板コンデンサC1と、他方は比誘電率がεr2の誘電体からなる平行平板コンデンサC2がある。今、これらを図のように並列に接続し、端子A,B間に直流電圧V0[V]を加えた。このとき、コンデンサC1の電極板間の電界の強さをE1[V/m]、電束密度をD1[C/m^2]、また、コンデンサC2の電極板間の電界の強さをE2[V/m]、電束密度をD2[C/m^2]とする。両コンデンサの電界の強さE1[V/m]とE2[V/m]はそれぞれ(ア)であり、電束密度D1[C/m^2]とD2[C/m^2]はそれぞれ(イ)である。したがって、コンデンサC1に蓄えられる電荷をQ1[C]、コンデンサC2に蓄えられる電荷をQ2[C]とすると、それらはそれぞれ(ウ)となる。ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。また、真空の誘電率をε0[F/m]とする。

(4) E1=V0/d, E2=V0/d, D1=ε0εr1V0/d, D2=ε0εr2V0/d, Q1=ε0εr1SV0/d, Q2=ε0εr2SV0/d

令和5年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目問10 解説問1 問1

コンデンサC1およびC2は並列に接続されているため、両端には等しく電源電圧V0が印加され、電界の強さは一様にE1 = E2 = V0/dとなり、これに各々の誘電率を掛け合わせた結果から選択肢(4)が導かれます。

平行平板コンデンサの電界と電荷の振る舞いを理解するには、以下の3つの関係式が基本となります。

電界の強さ $E$ [V/m] 平板間の距離を $d$ [m]、端子間の電圧を $V$ [V] とすると、 $E = V/d$ で表されます。これは電極間に均一な電界が生じていることを示します。
電束密度 $D$ [C/m^2] 誘電体の性質を表す誘電率 $\varepsilon$ を用いて、 $D = \varepsilon E$ と表されます。ここで $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ （ $\varepsilon_0$ は真空の誘電率、 $\varepsilon_r$ は比誘電率）であるため、 $D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E$ となります。
蓄えられる電荷 $Q$ [C] 電極面積を $S$ [m^2] とすると、電束密度と面積の積として $Q = D \times S$ となります。これに先ほどの式を代入すると、 $Q = \varepsilon_0 \varepsilon_r S (V/d)$ という関係が導かれます。

端子A、B間に並列に接続された2つのコンデンサC1、C2について、以下の手順で各値を求めます。

電界の強さを特定する両コンデンサには電圧 $V_0$ が直接加わっているため、距離 $d$ が等しい場合、電界の強さはどちらも $E_1 = E_2 = V_0/d$ となります。
電束密度を算出する電束密度は $D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E$ で決まります。したがって、C1では $D_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} (V_0/d)$ 、C2では $D_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} (V_0/d)$ となります。
電荷量を決定する電荷 $Q$ は電束密度 $D$ に面積 $S$ を乗じたものです。これより、C1については $Q_1 = D_1 S = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} S (V_0/d)$ 、C2については $Q_2 = D_2 S = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} S (V_0/d)$ となります。

図中の電極板間隔 $d$ に注目し、比誘電率という材料の個性がどのように電界と結びついているかを重ねてみると、各コンデンサが保持する電荷の大きさの違いが見えてきます。