令和5年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問171 解説 問17(a) 問17

コンデンサAは各誘電体が極板に対して垂直に積み重なる直列接続の状態にあるため、各層を貫く電束密度が一定となり、電界の強さは誘電率に反比例し、その合計が印加電圧Vとなることから、大小関係は $E_{A1} > E_{A2} > E_{A3}$ であり、最大値は $9V/5d$ となります。

電束密度の連続性と電界の強さ

平行板コンデンサ内部に厚さの異なる誘電体を直列に配置した場合、電気力線は極板から極板へと一様に貫くため、各層の電束密度 $D$ [C/m^2] は一定となります。電束密度と電界の強さ $E$ [V/m]、誘電率 $\varepsilon$ [F/m] の間には、$D = \varepsilon E = \varepsilon_0 \varepsilon_r E$ という関係があります。ここで $\varepsilon_0$ は真空の誘電率、$\varepsilon_r$ は比誘電率です。電束密度 $D$ が一定であるため、電界の強さ $E$ は比誘電率 $\varepsilon_r$ に反比例します。つまり、比誘電率が小さい層ほど、内部の電界の強さは大きくなります。

電圧の配分と各層の電界

コンデンサAには合計で電圧 $V$ がかかっています。各層の厚さを $d_1, d_2, d_3$、電界の強さを $E_{A1}, E_{A2}, E_{A3}$ とすると、各層の電圧降下の和は $V$ に等しくなるため、以下の式が成り立ちます。

$E_{A1} d_1 + E_{A2} d_2 + E_{A3} d_3 = V$

この問題では各層の厚さが $d_1 = d/6, d_2 = d/3, d_3 = d/2$ であり、比誘電率がそれぞれ $\varepsilon_{r1}=2, \varepsilon_{r2}=3, \varepsilon_{r3}=6$ です。

1. 電界の強さの大小関係を特定する $D = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} E_{A1} = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} E_{A2} = \varepsilon_0 \varepsilon_{r3} E_{A3}$ より、 $2 E_{A1} = 3 E_{A2} = 6 E_{A3}$ が成立します。 この関係から、$E_{A2} = (2/3)E_{A1}$、$E_{A3} = (1/3)E_{A1}$ となり、比誘電率が小さい順に電界の強さが $E_{A1} > E_{A2} > E_{A3}$ となることがわかります。

2. 各層の電界の強さを電圧Vで表す 上の関係式を電圧の式に代入します。 $E_{A1}(d/6) + (2/3)E_{A1}(d/3) + (1/3)E_{A1}(d/2) = V$ $E_{A1}(d/6 + 2d/9 + d/6) = V$ 分母を18に揃えると、 $E_{A1}(3d/18 + 4d/18 + 3d/18) = V$ $E_{A1}(10d/18) = V$ $E_{A1} = (18/10) V/d = 9V/5d$

この計算により、最も誘電率が低い層の電界強さである $E_{A1}$ が全体の最大値 $9V/5d$ となります。

各誘電体の比誘電率の数値と、それが積層された極板間の距離の比率を重ねてみると、電圧がどのように各層へ割り振られているかが見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験の過去問解説サイト（電験合格支援）
• コンデンサの誘電体と電界のシミュレーション（Zenn）
• 誘電体の基礎とガウスの法則（物理学のポータルサイト）