令和5年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問172 解説 問17(b) 問17

コンデンサAの蓄積エネルギーがコンデンサBの蓄積エネルギーの約0.83倍となるのは、Aが誘電体を直列に積層した構造で合成静電容量が小さく見積もられるのに対し、Bは誘電体を並列に並べた構造で合成静電容量が大きくなるためです。

コンデンサの構造と合成静電容量の考え方

平行板コンデンサの静電容量 $C$ は、極板の面積を $S$、極板間の距離を $d$、誘電率を $\varepsilon$ とすると、$C = \varepsilon S / d$ で表されます。誘電体が複数ある場合、それらの配置によって合成静電容量の計算方法が異なります。

誘電体が極板に対して垂直に積層されている場合、各誘電体は直列に接続されているとみなします。このとき、合成静電容量の逆数は各層の静電容量の逆数の和となります。一方、誘電体が極板と平行に配置されている場合、各誘電体は並列に接続されているとみなします。このとき、合成静電容量は各誘電体部分の静電容量の単純な和となります。また、コンデンサに蓄えられるエネルギー $W$ は、静電容量 $C$ と印加電圧 $V$ を用いて $W = \frac{1}{2} C V^2$ と表されます。

コンデンサAのエネルギー計算

コンデンサAは、厚さ $d/6, d/3, d/2$ の3つの誘電体が直列に積み重なっています。それぞれの静電容量を $C_{A1}, C_{A2}, C_{A3}$ とすると、誘電率が $2\varepsilon_0, 3\varepsilon_0, 6\varepsilon_0$ であるため、 $C_{A1} = \frac{2\varepsilon_0 S}{d/6} = \frac{12\varepsilon_0 S}{d}$ $C_{A2} = \frac{3\varepsilon_0 S}{d/3} = \frac{9\varepsilon_0 S}{d}$ $C_{A3} = \frac{6\varepsilon_0 S}{d/2} = \frac{12\varepsilon_0 S}{d}$ となります。これらを直列接続した合成静電容量 $C_A$ の逆数は、 $\frac{1}{C_A} = \frac{d}{12\varepsilon_0 S} + \frac{d}{9\varepsilon_0 S} + \frac{d}{12\varepsilon_0 S} = \frac{3d+4d+3d}{36\varepsilon_0 S} = \frac{10d}{36\varepsilon_0 S} = \frac{5d}{18\varepsilon_0 S}$ となり、$C_A = \frac{18\varepsilon_0 S}{5d}$ です。したがって、エネルギー $W_A$ は $W_A = \frac{1}{2} \cdot \frac{18\varepsilon_0 S}{5d} \cdot V^2 = \frac{9\varepsilon_0 S V^2}{5d}$ となります。

コンデンサBのエネルギー計算

コンデンサBは、面積が $S/6, S/3, S/2$ に分割された誘電体が並列に配置されています。それぞれの静電容量を $C_{B1}, C_{B2}, C_{B3}$ とすると、 $C_{B1} = \frac{2\varepsilon_0 (S/6)}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{3d}$ $C_{B2} = \frac{3\varepsilon_0 (S/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ $C_{B3} = \frac{6\varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{3\varepsilon_0 S}{d}$ となります。これらを並列接続した合成静電容量 $C_B$ は、単純な和として $C_B = (\frac{1}{3} + 1 + 3) \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{13}{3} \cdot \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ となります。したがって、エネルギー $W_B$ は $W_B = \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{3} \cdot \frac{\varepsilon_0 S V^2}{d} = \frac{13}{6} \cdot \frac{\varepsilon_0 S V^2}{d}$ です。

最後に、比 $W_A / W_B$ を求めると $\frac{W_A}{W_B} = \frac{9/5}{13/6} = \frac{9}{5} \times \frac{6}{13} = \frac{54}{65} \approx 0.83$ となります。

極板間の誘電体の層や面積の分割をあらためて眺めてみると、直列接続による静電容量の減少と並列接続による増加の対比が鮮明に浮かび上がってきます。

参考リンク

• コンデンサの直列・並列接続と合成静電容量
• 電磁気学：コンデンサのエネルギー蓄積と誘電体の役割
• 電磁気学における誘電率の定義と物理的意味