令和6年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目 問120 解説 問12 問12

面積 $25\text{ m}^2$、厚さ $10\text{ cm}$（$0.1\text{ m}$）、熱伝導率 $0.4\text{ W/(m・K)}$ の壁において内外面の温度差が $4\text{ K}$ に保たれているとき、熱伝導による熱流は熱伝導の基本関係式から $0.4 \times 25 \times 4 / 0.1 = 400\text{ W}$ と計算され、選択肢(4)の値と一致します。

熱伝導とフーリエの法則の基本原理

物質の内部を熱が移動する現象を熱伝導と呼び、単位時間あたりに伝わる熱エネルギーの量である熱流 $P$ [W] は、フーリエの法則によって表されます。

フーリエの法則では、熱流の大きさは熱が通過する断面積 $A$ [$\text{m}^2$]、物質固有の伝わりやすさを示す熱伝導率 $\lambda$ [$\text{W/(m・K)}$]、および熱が伝わる方向の温度変化の割合に比例します。壁のような平板状の構造を貫いて一定方向に熱が流れる定常熱伝導の場合、壁の厚さを $d$ [m]、壁の内外面の温度差を $\Delta T$ [K] とすると、熱流 $P$ は次の関係式で表されます。

$$P = \frac{\lambda \cdot A \cdot \Delta T}{d}$$

この式において、熱伝導率 $\lambda$ が大きい材料ほど熱を通しやすく、熱が通過する面積 $A$ や両面の温度差 $\Delta T$ が大きいほど通過する熱流 $P$ は増加します。一方で、熱が伝わる距離である壁の厚さ $d$ が大きくなるほど熱は伝わりにくくなり、熱流 $P$ は減少します。

電気回路におけるオームの法則と比較すると、熱流 $P$ は電流、温度差 $\Delta T$ は電圧、壁の熱の伝わりにくさを表す熱抵抗 $R_h = \frac{d}{\lambda \cdot A}$ [K/W] は電気抵抗に対応します。計算を行う際は、問題文で与えられた物理量の単位を SI 基本単位（長さをメートル [m]）に統一して式に代入することが不可欠です。

壁を通る熱流の算出

1. 与えられた数値の単位を整えます。壁の厚さ $d$ は $10\text{ cm}$ と与えられているため、基本単位であるメートルに換算して $d = 0.1\text{ m}$ とします。その他の条件は、面積 $A = 25\text{ m}^2$、熱伝導率 $\lambda = 0.4\text{ W/(m・K)}$、温度差 $\Delta T = 4\text{ K}$ であり、それぞれ規定の単位のまま使用できます。厚さを $\text{cm}$ のまま代入すると $100$ 倍の誤差が生じ、誤った数値を選ぶ原因になります。

2. フーリエの法則に基づく熱流の計算式 $P = \frac{\lambda \cdot A \cdot \Delta T}{d}$ に整理した数値を代入します。分子の計算は $\lambda \cdot A \cdot \Delta T = 0.4 \times 25 \times 4 = 40$ となります。

3. 分子の値 $40$ を厚さ $d = 0.1$ で割ることにより、熱流 $P = \frac{40}{0.1} = 400\text{ W}$ が導かれます。厚さ $0.1\text{ m}$ で割る計算は $10$ を掛ける操作と等しいため、この壁を伝わる熱流は $400\text{ W}$ と定まります。

壁の厚さ $10\text{ cm}$ をメートルへ換算した値と、面積や温度差が掛け合わされる分子の大きさを照らし合わせてみると、熱流の大きさが直感的に見えてきます。

参考リンク

• 【電験3種】機械科目：熱力学（熱流、熱伝導率、熱抵抗）
• 熱伝導方程式を極めて壁の断熱性能をPythonでシミュレーションしてみた
• 熱伝導率と熱流の基礎理論 - 日本機械学会