令和6年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目 問171 解説 問17(a) 問17

全光束 3000 lm の均等放射点光源が周囲の全方向へ均等に光を放つとき、球全体の立体角である $4\pi\,\text{sr}$ で全光束を割ることで平均光度が求まり、選択肢(2)の 239 cd が正答となります。

光度と全光束を結ぶ光学的性質と立体角の法則

照明理論において、光源から放射されるすべての光の量を全光束 $\Phi\,\text{[lm]}$（ルーメン）、ある特定方向へ向かう光の強さを光度 $I\,\text{[cd]}$（カンデラ）と定義します。

光源を中心とした空間の広がりを表す指標が立体角 $\Omega\,\text{[sr]}$（ステラジアン）です。半径 $r$ の球体を考えると、球全体の表面積は $4\pi r^2$ であり、立体角は表面積を半径の2乗で割った値として定義されるため、全方位を覆う空間全体の立体角は常に $4\pi\,\text{sr}$ となります。

光度 $I$ は、単位立体角あたりに放射される光束の量を示すため、一般に $I = \frac{d\Phi}{d\Omega}$ の関係が成り立ちます。本問のように「どの方向にも光度が等しい均等放射の点光源」では、すべての方向に対して光度が一定となる性質を持ちます。このとき、点光源の全光束 $\Phi$ と光度 $I$ の関係は、光束の基本法則により次の式で表されます。

$\Phi = 4\pi I$

この関係性から、均等放射光源における平均光度 $I$ は、全光束 $\Phi$ を球全体の立体角である $4\pi$ で割ることによって直接導出できます。

点光源の全光束からの平均光度の導出

1. 点光源の全光束 $\Phi = 3000\,\text{lm}$ と、全方位へ均等に光が広がる際の全立体角 $4\pi\,\text{sr}$ の関係を立てます。平均光度 $I\,\text{[cd]}$ を求める式は $I = \frac{\Phi}{4\pi}$ となります。

2. 整理した式に具体数値を代入して計算を行います。円周率 $\pi \approx 3.1416$ を適用します。

$I = \frac{3000}{4 \times 3.1416} = \frac{3000}{12.5664} \approx 238.73\,\text{cd}$

3. 算出した $238.73\,\text{cd}$ に最も近い数値を選択肢から確認すると、239 が導かれます。設問(a)で求める光度は光源自体の性質であるため、図に示された高さ $2\,\text{m}$ や距離 $1.5\,\text{m}$ の条件に影響されず決まります。

高さ $2\,\text{m}$ や離れ $1.5\,\text{m}$ という図の寸法と、光源を中心として全方向に広がる球面のイメージを重ねてみると、光源自体の持つ光度と受光面に届く照度の違いが見えてきます。

参考リンク

• [第三種電気主任技術者試験 電験3種 過去問解説] (https://www.denken3.net/)
• [照明計算の基本！光度と照度の違いをPythonで可視化してみた] (https://qiita.com/)
• [光度と光束の定義：物理量としての光計測] (https://www.aist.go.jp/)