令和6年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目 問181 解説 問18(a) 問18

図1の回路は2つの入力AおよびBに対し、下側のANDゲート出力$T_1$が論理積となり、上側の回路出力$S_1$が入力信号の排他的論理和を出力する構成であるため、AとBの両方が1のときのみ$S_1=0, T_1=1$となり、いずれか一方だけが1のときに$S_1=1, T_1=0$となる真理値表を示す選択肢(3)が正答となります。

基本論理回路の動作特性とド・モルガンの法則

論理回路の動作を解析するには、回路に含まれる基本論理ゲート（AND回路、OR回路、NOT回路）の動作特性と論理代数の関係を正しく把握する必要があります。

論理積（AND回路）はすべての入力信号が1であるときのみ1を出力し、論理和（OR回路）は入力信号の少なくとも一つが1であれば1を出力します。また、論理否定（NOT回路）は入力信号の1と0を反転させて出力します。

図1に示す回路において、下側のAND回路には入力Aと入力Bが直接接続されているため、その出力$T_1$の論理式は次のように表されます。

$T_1 = A \cdot B$

一方、上側の出力$S_1$に至る回路では、最上段のOR回路に入力Aと入力Bが送られるため、その出力は$A + B$となります。また、中段にあるNOT回路の入力は下側のAND回路の出力$T_1$から分岐して引き込まれているため、NOT回路の出力は$\overline{T_1} = \overline{A \cdot B}$となります。これら二つの信号が最終段のAND回路に入力されて$S_1$が出力されるため、$S_1$を表す論理式は次のようになります。

$S_1 = (A + B) \cdot \overline{A \cdot B}$

ここで、論理代数におけるド・モルガンの法則を適用します。ド・モルガンの法則は、全体否定された論理積を個別の否定の論理和に変換できる性質を示し、$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$という関係が成り立ちます。これを$S_1$の論理式に代入し、分配法則を用いて展開します。

$S_1 = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B}) = A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}$

自らの信号とその否定の論理積は常に0（$A \cdot \overline{A} = 0$および$B \cdot \overline{B} = 0$）となるため、式は次のように整理されます。

$S_1 = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$

この論理式は排他的論理和（XOR）を表しており、入力Aと入力Bの値が異なるときにのみ出力が1になるという明確な特徴を持ちます。

図1の論理回路における信号伝搬と真理値の決定

1. 入力A=0、入力B=0の場合 下側のAND回路は$0 \cdot 0 = 0$を出力するため、$T_1 = 0$となります。NOT回路の出力は0の反転により1となります。最上段のOR回路の出力は$0 + 0 = 0$となります。最終段のAND回路には0と1が入力されるため、出力$S_1$は$0 \cdot 1 = 0$となります。

2. 入力A=0、入力B=1の場合 下側のAND回路は$0 \cdot 1 = 0$を出力するため、$T_1 = 0$となります。NOT回路の出力は0の反転により1となります。最上段のOR回路の出力は$0 + 1 = 1$となります。最終段のAND回路には1と1が入力されるため、出力$S_1$は$1 \cdot 1 = 1$となります。

3. 入力A=1、入力B=0の場合 下側のAND回路は$1 \cdot 0 = 0$を出力するため、$T_1 = 0$となります。NOT回路の出力は0の反転により1となります。最上段のOR回路の出力は$1 + 0 = 1$となります。最終段のAND回路には1と1が入力されるため、出力$S_1$は$1 \cdot 1 = 1$となります。

4. 入力A=1、入力B=1の場合 下側のAND回路は$1 \cdot 1 = 1$を出力するため、$T_1 = 1$となります。NOT回路の出力は1の反転により0となります。最上段のOR回路の出力は$1 + 1 = 1$となります。最終段のAND回路には1と0が入力されるため、出力$S_1$は$1 \cdot 0 = 0$となります。

選択肢(1)や(4)にあるような入力A=0, B=1やA=1, B=0のとき$S_1=0$とする誤りは、OR回路の出力が1であることやNOT回路による反転信号の反映を適切に追いきれていない場合に発生します。また、選択肢(2)や(5)のようにA=0, B=0で$T_1=1$とする選択肢は、AND回路の基本的な論理条件を満たしていません。

入力AとBの分岐点から各ゲートを通過する0と1の信号の変化を図1の上に順に書き落としていくと、論理回路全体が果たす機能のつながりがはっきりと見えてきます。

参考リンク

• 電験王 - 令和3年度一次 試験理論科目 問18の過去問解説
• Zenn - ロジックICを組み合わせて半加算器回路を作ってみる
• 九州大学 授業Webページ - 論理回路の基礎とブール代数の公式