問12 真空中に置かれた平行電極板間に, 直流電圧V[V]を加えて平等電界E[V/m]を作り, この陰極板に電子を置いた場合, 初速零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは, v[m/s]となった。このときの電子の運動エネルギーは, 電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ, 次の式が成立する。1/2mv^2 = (ア)ただし, 電子の電気素量をe[C], 電子の質量をm[kg]とする。したがって, この式から電子の速さv[m/s]は, (イ)で表される。上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして, 正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

令和6年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目問120 解説問12 問12

平行電極板間の電位差 $V$ によって電子が加速されるとき、電子が得る運動エネルギーは電気素量 $e$ と電位差 $V$ の積である $eV$ となり、これに運動エネルギーの基本式を等置することで、速さ $v = \sqrt{2eV/m}$ が導かれます。

真空中の電界において、電荷が電位差のある2点間を移動する際、その電荷は電界から仕事を受けます。電気素量 $e$ [C] の電子が電位差 $V$ [V] の場所を通過するとき、電子が得るエネルギー（仕事） $W$ は以下の式で表されます。

$W = eV$ [J]

このエネルギーは、電子が静止状態から動き出した後の運動エネルギーとして蓄えられます。質量 $m$ [kg] の物体が速さ $v$ [m/s] で移動しているときの運動エネルギー $K$ は、力学の法則に基づき次のように定義されます。

$K = \frac{1}{2}mv^2$ [J]

エネルギー保存の法則により、電界から得た仕事 $W$ がそのまま電子の運動エネルギー $K$ に変換されるため、両者は等しくなります。

電界中の電子の挙動を以下の手順で整理します。

電子が陽極板に到達した際のエネルギー収支を式にします。電界から受けるエネルギー $eV$ がそのまま運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ になるため、関係式は $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ となります。ここで(ア)には $eV$ が当てはまります。
この式を速さ $v$ について解くために、まず両辺を $m$ で割り、 $2$ を掛けます。すると $v^2 = \frac{2eV}{m}$ となります。
最後に両辺の平方根をとることで、 $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ が得られます。これが(イ)に当てはまる式となります。

選択肢を検討する際、電界の強さ $E$ を用いる紛らわしい選択肢がありますが、本問で与えられたエネルギーの定義式に適合するのは電位差 $V$ を用いた式です。

電極板に印加された直流電圧と、そこを飛び交う微小な電子の質量を重ねてみると、速さが導き出される様子が見えてきます。