問5 図のように, 三つの抵抗 R1=5Ω, R2=4Ω, R3=8Ωと電圧 V[V]の直流電源からなる回路がある。抵抗 R1, R2, R3の消費電力をそれぞれ P1[W], P2[W], P3[W]とするとき, その大きさの大きい順として, 正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目問50 解説問5 問5

抵抗R1に流れる全電流がR1で大きな電力を消費することと、並列接続されたR2とR3に電圧が分圧されることでそれぞれの消費電力が抑えられることにより、P1 > P2 > P3の関係が成立します。

直流回路において、抵抗で消費される電力 $P$ [W] は、その抵抗の抵抗値 $R$ [Ω]、流れる電流 $I$ [A]、および抵抗にかかる電圧 $V_r$ [V] を用いて、以下のいずれかの式で求められます。

$P = I^2 R$ $P = \frac{V_r^2}{R}$

電流が同じ直列回路では抵抗値が大きいほど電力が大きくなりますが、電圧が同じ並列回路では抵抗値が小さいほど電力が大きくなるという性質があります。

この回路は、R1が電源と直列に接続され、その先にR2とR3が並列に接続された構成です。

全体の合成抵抗を求めます。R2とR3の並列合成抵抗 $R_{23}$ は、 $R_{23} = \frac{4 \times 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \approx 2.67$ [Ω] です。これにR1が直列に接続されているため、回路全体の抵抗は $5 + 2.67 = 7.67$ [Ω] となります。
電源電圧を $V$ とすると、R1に流れる電流 $I_1$ は $I_1 = \frac{V}{5 + 8/3} = \frac{3V}{23}$ となります。R1の消費電力 $P_1$ は $P_1 = I_1^2 \times 5 = (\frac{3V}{23})^2 \times 5 = \frac{45V^2}{529}$ となります。
R2とR3にかかる電圧 $V_{23}$ は、分圧の法則により $V_{23} = V \times \frac{8/3}{5 + 8/3} = V \times \frac{8/3}{23/3} = \frac{8V}{23}$ となります。
並列部分の各電力は、共通の電圧 $V_{23}$ を用いて計算します。 $P_2 = \frac{V_{23}^2}{4} = (\frac{8V}{23})^2 \times \frac{1}{4} = \frac{64V^2}{529 \times 4} = \frac{16V^2}{529}$ $P_3 = \frac{V_{23}^2}{8} = (\frac{8V}{23})^2 \times \frac{1}{8} = \frac{64V^2}{529 \times 8} = \frac{8V^2}{529}$
各電力を比較すると、分母がすべて $529$ で共通であるため、分子を比較して $45 > 16 > 8$ となり、結果として $P_1 > P_2 > P_3$ と決定します。

電源から供給される電流がR1を通過し、残りの電圧がR2とR3に分配される経路を追ってみると、消費されるエネルギーの大小が見えてきます。