問7 図のように，可変抵抗R1[Ω]，R2[Ω]，抵抗Rx[Ω]，電源E[V]からなる直流回路がある。次に示す条件1のときのRx[Ω]に流れる電流I[A]と条件2のときの電流I[A]は等しくなった。このとき，Rxの値[Ω]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。条件1：R1=90Ω，R2=6Ω 条件2：R1=70Ω，R2=3Ω

令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目問70 解説問7 問7

この問題は、条件1と条件2で抵抗Rxを流れる電流Iが等しいという制約から、回路全体の合成抵抗および電圧分割の関係を用いてRxを求めるものであり、その値は2.4Ωとなります。

この回路は、可変抵抗R1が直列に接続され、その後にR2とRxが並列に接続された構成をしています。オームの法則により、電流Iは電圧を抵抗で割ることで求められますが、並列部分に流れる電流Iを特定するには、分流の法則を理解しておく必要があります。

並列回路では、各抵抗に分かれる電流の比は抵抗値の逆比となります。Rxに流れる電流Iは、並列部分に入ってくる全電流をIfとした場合、以下の式で表されます。

$I = If \times \frac{R2}{R2 + Rx}$

ここで、全体の回路を流れる電流Ifは、電源電圧Eと回路全体の合成抵抗Rtを用いて、 $If = E / Rt$ となります。合成抵抗Rtは、R1と並列部分の合成抵抗（R2とRxの並列値）の和として計算できます。

条件1と条件2で電流Iが等しいということは、電源電圧Eが一定である以上、回路の構成要素であるR1, R2, Rxの組み合わせによって決まる「並列部分の電圧」と「その抵抗値」の関係が一致していることを意味します。

並列部分の電圧Vpを求めます。R2とRxの並列合成抵抗は $Rp = \frac{R2 \times Rx}{R2 + Rx}$ です。このときの分圧により、並列部分の電圧は $Vp = E \times \frac{Rp}{R1 + Rp}$ となります。
Rxを流れる電流Iは、オームの法則により $I = Vp / Rx$ となります。これを展開すると、 $I = \frac{E}{Rx} \times \frac{Rp}{R1 + Rp} = \frac{E}{Rx} \times \frac{R2 \times Rx / (R2 + Rx)}{R1 + R2 \times Rx / (R2 + Rx)}$ となり、整理すると $I = \frac{E \times R2}{R1(R2 + Rx) + R2 \times Rx}$ です。
条件1（R1=90, R2=6）と条件2（R1=70, R2=3）でこのIが等しいため、以下の式が成り立ちます。 $\frac{E \times 6}{90(6 + Rx) + 6Rx} = \frac{E \times 3}{70(3 + Rx) + 3Rx}$
両辺のEを消去し、分母を整理します。 $\frac{6}{540 + 90Rx + 6Rx} = \frac{3}{210 + 70Rx + 3Rx}$ $\frac{6}{540 + 96Rx} = \frac{3}{210 + 73Rx}$
両辺を3で割ってクロスで掛け合わせます。 $2(210 + 73Rx) = 1(540 + 96Rx)$ $420 + 146Rx = 540 + 96Rx$ $50Rx = 120$ $Rx = 2.4$

可変抵抗のつまみを動かしたとき、Rxにかかる電圧と並列合成抵抗の比率がどのように変化するかを重ねてみると、電流が一定となる均衡点が見えてきます。