令和7年度第三種電気主任技術者下期試験　理論科目 問80 解説 問8 問8

周波数 $f=10\,\text{Hz}$ のときにはコンデンサとコイルが共振して並列部分が遮断されることで回路全体のインピーダンスが $50\,\Omega$ となり、周波数 $f=10\,\text{MHz}$ のときには並列部分が短絡とみなせるためインピーダンスが $20\,\Omega$ となることから、電流比 $I_{10\text{Hz}}/I_{10\text{MHz}}$ は $20/50=0.4$ となります。

コンデンサとコイルの周波数特性

交流回路におけるコンデンサのリアクタンス $X_C$ とコイルのリアクタンス $X_L$ は、周波数 $f$ によってその大きさが劇的に変化します。それぞれ以下の式で表されます。

$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ $X_L = 2\pi f L$

この式から、周波数が低いほど $X_C$ は大きく $X_L$ は小さくなり、周波数が高いほど $X_C$ は小さく $X_L$ は大きくなるという性質があります。また、これらを並列に接続した場合、合成インピーダンスは周波数に依存して変化し、特に $X_C$ と $X_L$ の大きさが等しくなる周波数（共振周波数）では、並列部分は理論上、無限大のインピーダンスを持ちます。

周波数による回路状態の解析

回路全体の電流 $I$ は、オームの法則 $I = V/Z$ により、回路全体のインピーダンス $Z$ が決まれば求めることができます。図の回路は、抵抗 $R_1$ に、コンデンサ $C$、コイル $L$、抵抗 $R_2$ の並列回路が直列に接続された形をしています。

1. $f=10\,\text{Hz}$ のとき リアクタンスを計算すると、$X_C = 1/(2\pi \cdot 10 \cdot 1/(100\pi)) = 5\,\Omega$、および $X_L = 2\pi \cdot 10 \cdot 1/(4\pi) = 5\,\Omega$ となります。並列部分において $X_C$ と $X_L$ が並列接続されると、その合成インピーダンスは $j5$ と $-j5$ の並列となり、無限大になります。そのため、並列部分には電流が流れず、$R_2$ のみを含んだ状態として扱えます。結果として回路全体のインピーダンスは $Z = R_1 + R_2 = 20 + 30 = 50\,\Omega$ となり、電流は $I_{10\text{Hz}} = V/50$ です。

2. $f=10\,\text{MHz}$ のとき 非常に高い周波数では、$X_C$ はほぼ $0\,\Omega$（短絡）に近づき、$X_L$ は極めて大きな値（開放）となります。したがって、コンデンサとコイルが並列接続された部分は短絡状態とみなせます。抵抗 $R_2$ もこの短絡部分と並列であるため、並列部分全体のインピーダンスは $0\,\Omega$ です。よって回路全体のインピーダンスは $Z = R_1 = 20\,\Omega$ となり、電流は $I_{10\text{MHz}} = V/20$ です。

3. 電流比の算出 求めた2つの電流を用いて比を計算すると、$I_{10\text{Hz}} / I_{10\text{MHz}} = (V/50) / (V/20) = 20/50 = 0.4$ となります。

周波数という条件を、コンデンサやコイルのリアクタンスという尺度に置き換えて回路図を見つめ直すと、電気の流れの変化がより鮮明に浮かび上がってきます。

参考リンク

• 電気回路の基礎：交流回路の共振と周波数特性
• 【Python】インピーダンス計算とボード線図の描画
• 交流回路におけるインピーダンスの定義（電気学会）