問15(a) 三相誘導電動機について、次の(a)及び(b)に答えよ。一次側に換算した二次巻線の抵抗r2'と滑りsの比r2'/sが、他の定数(一次巻線の抵抗r1、一次巻線のリアクタンスx1、一次側に換算した二次巻線のリアクタンスx2')に比べて十分に大きくなるように設計された誘導電動機がある。この電動機を電圧Vの電源に接続して運転したとき、この電動機のトルクTと滑りs、電圧Vの関係を表す近似式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、kは定数である。

令和7年度第三種電気主任技術者上期試験　機械科目問151 解説問15(a) 問15

三相誘導電動機のトルクは、r2'/sが他の定数に比べて十分に大きいという条件のもとで、電圧の2乗および滑りに比例するため、T = kV^2sが導かれます。

誘導電動機の発生トルクTは、一次側に換算したL型等価回路を用いて、次の一般式で表されます。

$T = \frac{3V^2}{\omega_s} \cdot \frac{r_2'/s}{(r_1 + r_2'/s)^2 + (x_1 + x_2')^2}$

ここで、Vは電源電圧、 $\omega_s$ は同期角速度、r1は一次抵抗、x1とx2'は一次および二次側（換算）の漏れリアクタンス、r2'は二次抵抗（換算）、sは滑りです。

この式において、分母にある括弧の中身に着目します。条件として与えられた「r2'/sが他の定数（r1, x1, x2'）に比べて十分に大きい」という状況では、(r1 + r2'/s) はほぼ (r2'/s) とみなせ、リアクタンス成分 (x1 + x2') は無視できるほど小さくなります。

この近似条件を適用して、式を簡略化する手順を追います。

分母の近似分母の $(r_1 + r_2'/s)^2 + (x_1 + x_2')^2$ において、r2'/s が支配的となるため、 $(r_2'/s)^2$ に近似します。
式の整理近似した式は $T \approx \frac{3V^2}{\omega_s} \cdot \frac{r_2'/s}{(r_2'/s)^2}$ となります。これを整理すると、 $\frac{r_2'/s}{(r_2'/s)^2} = \frac{1}{r_2'/s} = \frac{s}{r_2'}$ となります。
比例関係の抽出整理された式は $T \approx \frac{3V^2}{\omega_s \cdot r_2'} \cdot s$ となります。ここで、3、 $\omega_s$ 、r2'は電動機の定数であるため、これらをひとまとめにして定数kとおくと、 $T = kV^2s$ という関係が成り立ちます。

この結果から、電動機のトルクは供給される電圧の2乗に比例し、かつ滑りにも比例することがわかります。この近似式における各物理量の影響度を、等価回路の抵抗分とリアクタンス分のバランスと重ねてみると、トルクがどのように変動するのかその挙動が見えてきます。