第三種電気主任技術者試験 / 令和7年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 / 各問題解説 / 問171
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令和7年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問171 解説 問17(a) 問17

設問図

問17(a) 大きさが等しい二つの導体球A, Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合, 両導体球の間に働く力は, 導体球に蓄えられている電荷の積に比例し, 導体球の中心間距離の2乗に反比例する。この場合の比例定数を求める目的で, 導体球Aに+4×10^-8 C, 導体球Bに+6×10^-8 Cの電荷を与えて, 導体球の中心間距離で0.3 m隔てて両導体球を置いたところ, 両導体球間に2.4×10^-4 Nの反発力が働いた。この結果から求められる比例定数[N・m^2/C^2]として, 最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし, 導体球A, Bの初期電荷は零とする。また, 両導体球の大きさは0.3 mに比べて極めて小さいものとする。

  1. 3×10^9
  2. 4×10^9
  3. 9×10^9 ✓ 正答
  4. 12×10^9
  5. 15×10^9

解説

電荷が蓄えられた二つの導体球の間に働く力は、F=k⋅q1⋅q2r2F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} というクーロンの法則に従い、与えられた電荷量 q1=4×10−8 Cq_1 = 4 \times 10^{-8}\, \text{C}、q2=6×10−8 Cq_2 = 6 \times 10^{-8}\, \text{C}、距離 r=0.3 mr = 0.3\, \text{m}、および力 F=2.4×10−4 NF = 2.4 \times 10^{-4}\, \text{N} を代入して整理することで、比例定数 k=9×109 N⋅m2/C2k = 9 \times 10^9\, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 が導かれます。

クーロンの法則による静電気力の決定

電荷を持つ二つの物体の間に働く力は、静電気力（クーロン力）と呼ばれ、クーロンの法則によって定量的に表されます。この法則は、二つの点電荷の間に働く力が「それぞれの電荷の大きさの積に比例し、中心間の距離の2乗に反比例する」ことを示しています。本問のように導体球の大きさが距離に対して十分に小さい場合、導体球を点電荷とみなしてこの法則を適用できます。

比例定数の算出プロセス

比例定数 kk を求めるために、以下のステップで計算を進めます。

  1. クーロンの法則の基本式 F=k⋅q1⋅q2r2F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} を、kk についての式に変形します。 k=F⋅r2q1⋅q2k = \frac{F \cdot r^2}{q_1 \cdot q_2}

  2. 与えられた数値を代入します。 F=2.4×10−4F = 2.4 \times 10^{-4} r=0.3r = 0.3 q1=4×10−8q_1 = 4 \times 10^{-8} q2=6×10−8q_2 = 6 \times 10^{-8}

    k=(2.4×10−4)×(0.3)2(4×10−8)×(6×10−8)k = \frac{(2.4 \times 10^{-4}) \times (0.3)^2}{(4 \times 10^{-8}) \times (6 \times 10^{-8})}

  3. 数値を整理して計算します。 分子：(2.4×10−4)×0.09=0.216×10−4=2.16×10−5(2.4 \times 10^{-4}) \times 0.09 = 0.216 \times 10^{-4} = 2.16 \times 10^{-5} 分母：(4×10−8)×(6×10−8)=24×10−16=2.4×10−15(4 \times 10^{-8}) \times (6 \times 10^{-8}) = 24 \times 10^{-16} = 2.4 \times 10^{-15} k=2.16×10−52.4×10−15=0.9×1010=9×109k = \frac{2.16 \times 10^{-5}}{2.4 \times 10^{-15}} = 0.9 \times 10^{10} = 9 \times 10^9

電荷の積と距離の関係式に、導体球AとBが置かれた位置関係や力の数値を重ねてみると、静電気の相互作用が比例定数という形で見えてきます。

参考リンク

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