令和7年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問172 解説 問17(b) 問17

導体球A、Bとの中心間距離をそれぞれ $x$ [m]、$(0.3-x)$ [m] とし、クーロンの法則を用いてAから受ける力とBから受ける力が等しくなる条件を解くことで、距離の値が約0.124 [m]であると導かれます。

導体球の接触による電荷の移動

導体球同士を接触させると、それぞれの球が持つ電気量（電荷）は、全体の電荷が平均化されるように分配されます。大きさが等しい導体球同士であれば、接触後に電荷は等分されます。

1. 最初、導体球Aには $4 \times 10^{-8}$ [C]、電荷を持たない導体球Cには 0 [C] が蓄えられています。
2. 導体球CをAに接触させると、合計の電荷 $4 \times 10^{-8}$ [C] が二つの球に等しく分けられ、AとCはそれぞれ $2 \times 10^{-8}$ [C] となります。
3. 次に、このCを導体球B（電荷 $6 \times 10^{-8}$ [C]）に接触させます。このとき、Cの電荷 $2 \times 10^{-8}$ [C] とBの電荷 $6 \times 10^{-8}$ [C] の合計 $8 \times 10^{-8}$ [C] が二つの球に等しく分けられるため、接触後のCとBの電荷はそれぞれ $4 \times 10^{-8}$ [C] となります。

結果として、導体球Aの電荷 $q_A = 2 \times 10^{-8}$ [C]、導体球Bの電荷 $q_B = 4 \times 10^{-8}$ [C]、導体球Cの電荷 $q_C = 4 \times 10^{-8}$ [C] となります。

クーロンの法則による力の釣り合い

二つの点電荷の間に働く力 $F$ は、クーロンの法則により $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ （$k$ は比例定数、$r$ は中心間距離）で表されます。導体球CがA、Bから受ける力が釣り合うとき、Cにかかる電界の強さが打ち消し合う、あるいはAから受ける斥力とBから受ける斥力が等しくなる条件を考えます。

1. 導体球AからCまでの距離を $x$ [m] とすると、導体球BからCまでの距離は $(0.3 - x)$ [m] となります。
2. AからCに働く力 $F_A = k \frac{q_A q_C}{x^2}$ と、BからCに働く力 $F_B = k \frac{q_B q_C}{(0.3 - x)^2}$ が等しくなるため、$k \frac{q_A q_C}{x^2} = k \frac{q_B q_C}{(0.3 - x)^2}$ が成立します。
3. この式の両辺から共通の $k$ と $q_C$ を消去し、電荷の値を代入すると $\frac{2 \times 10^{-8}}{x^2} = \frac{4 \times 10^{-8}}{(0.3 - x)^2}$ となります。
4. 式を整理すると $\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(0.3 - x)^2}$ となり、両辺の平方根をとると $\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2}}{0.3 - x}$ が得られます。
5. これを $x$ について解くと $0.3 - x = \sqrt{2}x$ となり、$x(1 + \sqrt{2}) = 0.3$ です。$\sqrt{2} \approx 1.414$ を用いると、$x = \frac{0.3}{2.414} \approx 0.1242$ [m] と計算されます。

固定された二つの導体球の電荷量を再計算し、その間の空間における力のバランスに目を向けると、Cの位置が自ずと定まってきます。

参考リンク

• 【電験三種】クーロンの法則と電界の強さの基礎
• 電磁気学の基本：点電荷に働く力と合成電場
• クーロンの法則｜日本大百科全書（ニッポニカ）