令和7年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問20 解説 問2 問2

球状導体周囲の空間を比誘電率2の絶縁体で満たすと、真空時の静電容量に比べて2倍になるため、球状導体の静電容量は液体を満たす前の2倍になります。

静電容量と誘電率の関係

静電容量は、導体にどれだけの電荷を蓄えられるかを示す指標です。半径 $r$ [m] の孤立した球状導体の静電容量 $C$ [F] は、以下の式で表されます。

$C = 4\pi\varepsilon r$

ここで、$\varepsilon$ [F/m] は周囲の媒質の誘電率です。誘電率は、真空の誘電率を $\varepsilon_0$ [F/m]、媒質の比誘電率を $\varepsilon_r$ とすると、$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ という関係があります。この式から、周囲の媒質の比誘電率 $\varepsilon_r$ が大きくなるほど、静電容量 $C$ も比例して大きくなることがわかります。

液体充填による各物理量の変化

球状導体の電荷 $Q$ [C] が一定であると仮定して、周囲を比誘電率 $\varepsilon_r = 2$ の絶縁体で満たした場合の変化を追います。

1. 静電容量の特定 周囲を比誘電率 $\varepsilon_r = 2$ の液体で満たすと、誘電率は真空時の2倍（$\varepsilon = 2\varepsilon_0$）になります。静電容量の式 $C = 4\pi\varepsilon r$ に当てはめると、新しい静電容量 $C'$ は $C' = 4\pi(2\varepsilon_0)r = 2(4\pi\varepsilon_0 r) = 2C$ となり、真空時の2倍になることがわかります。

2. 電位の変化を確認 導体の電位 $V$ [V] は、$V = Q / C$ という関係にあります。電荷 $Q$ は一定のまま、静電容量 $C$ が2倍になるため、電位 $V$ は元の $1/2$ 倍になります。これにより「電位が2倍になる」という選択肢は誤りであると判断できます。

3. 電界の強さと電束密度の検討 導体表面の電界の強さ $E$ [V/m] は、$E = V / r$ で表されます。電位 $V$ が $1/2$ 倍になるため、電界 $E$ も $1/2$ 倍になります。一方、電束密度 $D$ [C/m^2] は $D = \varepsilon E$ で定義されます。誘電率 $\varepsilon$ が2倍になり、電界 $E$ が $1/2$ 倍になるため、両者を掛けると $2 \times (1/2) = 1$ となり、電束密度は不変であることがわかります。

4. 電気力線の本数の整理 ガウスの法則により、導体から出る電気力線の総本数は電荷 $Q$ に依存します。電気力線の本数 $N$ は $N = Q / \varepsilon$ の関係にあるため、誘電率 $\varepsilon$ が2倍になると、本数は $1/2$ 倍になります。

周囲を満たす絶縁体の比誘電率の値と、静電容量の式の形を重ねてみると、空間の性質が電荷の蓄え方に与える影響が見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験（電験三種）対策：静電容量の基本
• 【物理】誘電体によってコンデンサの容量が変化する仕組み（シミュレーション解説）
• 電磁気学における誘電率の定義（物理学の基礎）