第三種電気主任技術者試験 / 令和8年度第三種電気主任技術者上期試験　機械科目 / 各問題解説 / 問181
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令和8年度第三種電気主任技術者上期試験　機械科目 問181 解説 問18(a)

設問図

問18 論理関数に関する次の(a)及び(b)の問に答えよ。 (a) 論理式 $\dot{X} \cdot \bar{Y} \cdot Z + \bar{X} \cdot Y \cdot Z + \bar{X} \cdot \bar{Y} \cdot Z$ を積和形式で簡単化したものは次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

  1. (1) $\dot{X} \cdot \bar{Y} + Z$
  2. (2) $\dot{X} \cdot Y + Z$
  3. (3) $\dot{X} + Y \cdot Z$
  4. (4) $X + \bar{Y} \cdot Z$
  5. (5) $\dot{X} \cdot \bar{Y} + \dot{X} \cdot Z$ ✓ 正答

解説

設問の論理式 X⋅Y⋅Zˉ+X⋅Y⋅Z+Xˉ⋅Y⋅Z+Xˉ⋅Yˉ⋅ZX \cdot Y \cdot \bar{Z} + X \cdot Y \cdot Z + \bar{X} \cdot Y \cdot Z + \bar{X} \cdot \bar{Y} \cdot Z において、共通する変数を持つ項どうしをグループにまとめ、ブール代数の分配法則と補元の法則を用いて簡単化することで、選択肢(5)の X⋅Y+Xˉ⋅ZX \cdot Y + \bar{X} \cdot Z が導かれます。

ブール代数における簡略化の法則

論理式を簡単化するためには、論理代数（ブール代数）における基本的な性質や公式を利用します。この問題で特に重要となるのが、分配法則、補元の法則（同一基本法則）、および境界値に関する法則です。

分配法則

通常の代数計算における因数分解と同様に、共通する論理変数を括弧の外にくくり出すことができます。論理積を「⋅\cdot」、論理和を「++」で表すとき、次の関係が成り立ちます。 A⋅B+A⋅C=A⋅(B+C)A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C) この法則を用いることで、複数の項に共通して存在する変数をまとめ、式を整理する足がかりを作ることができます。

補元の法則

ある論理変数 AA と、その否定（反転）である Aˉ\bar{A} の論理和は、常に真（1）になります。 A+Aˉ=1A + \bar{A} = 1 これは、スイッチが「ON」であるか「OFF」であるかのどちらか一方は必ず満たされるという直感的な性質に対応しています。

境界値に関する法則

任意の論理変数 AA と 1 との論理積は、元の変数 AA の値そのものになります。 A⋅1=AA \cdot 1 = A これらの法則を組み合わせることで、「A⋅B+A⋅BˉA \cdot B + A \cdot \bar{B}」という式は「A⋅(B+Bˉ)=A⋅1=AA \cdot (B + \bar{B}) = A \cdot 1 = A」となり、変数 BB を消去して式を非常にシンプルにすることができます。

与えられた論理式の簡単化

  1. 与えられた4つの項のうち、最初の2つの項に着目する。 第1項の X⋅Y⋅ZˉX \cdot Y \cdot \bar{Z} と第2項の X⋅Y⋅ZX \cdot Y \cdot Z には、共通の因数として X⋅YX \cdot Y が含まれている。分配法則を適用して X⋅YX \cdot Y でくくり出すと、次のように変形できる。 X⋅Y⋅Zˉ+X⋅Y⋅Z=X⋅Y⋅(Zˉ+Z)X \cdot Y \cdot \bar{Z} + X \cdot Y \cdot Z = X \cdot Y \cdot (\bar{Z} + Z)

  2. 括弧内の論理和に補元の法則を適用する。 変数 ZZ とその否定 Zˉ\bar{Z} の論理和 Zˉ+Z\bar{Z} + Z は常に 1 となるため、式は X⋅Y⋅1X \cdot Y \cdot 1 と書き換えられる。1 との論理積は元の値と変わらないため、この部分は X⋅YX \cdot Y だけに単純化される。

  3. 残りの2つの項に着目し、同様に共通因数でくくる。 第3項の Xˉ⋅Y⋅Z\bar{X} \cdot Y \cdot Z と第4項の Xˉ⋅Yˉ⋅Z\bar{X} \cdot \bar{Y} \cdot Z には、共通の因数として Xˉ⋅Z\bar{X} \cdot Z が含まれている。分配法則を用いて Xˉ⋅Z\bar{X} \cdot Z でくくり出すと、次のように変形できる。 Xˉ⋅Y⋅Z+Xˉ⋅Yˉ⋅Z=Xˉ⋅Z⋅(Y+Yˉ)\bar{X} \cdot Y \cdot Z + \bar{X} \cdot \bar{Y} \cdot Z = \bar{X} \cdot Z \cdot (Y + \bar{Y})

  4. 括弧内の論理和を同様に処理する。 変数 YY とその否定 Yˉ\bar{Y} の論理和 Y+YˉY + \bar{Y} も常に 1 となる。これに境界値に関する法則を適用することで、この部分は Xˉ⋅Z⋅1=Xˉ⋅Z\bar{X} \cdot Z \cdot 1 = \bar{X} \cdot Z に単純化される。

  5. 簡略化した前半と後半のパーツを論理和で結合する。 前半の2項から得られた X⋅YX \cdot Y と、後半の2項から得られた Xˉ⋅Z\bar{X} \cdot Z を足し合わせることで、全体の論理式は X⋅Y+Xˉ⋅ZX \cdot Y + \bar{X} \cdot Z となる。

提示された論理式全体を眺め、それぞれの項で共通している変数と、互いに否定の関係にある変数の組み合わせを重ねてみると、どの変数を消去できるかの繋がりが見えてきます。

参考リンク

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