第三種電気主任技術者試験 / 令和8年度 上期 第3種 理論 / 各問題解説 / 問30
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令和8年度 上期 第3種 理論 問30 解説 問3

次の文章は，コイルの磁束鎖交数とコイルに蓄えられる磁気エネルギーについて述べたものである。 インダクタンス 1 mH のコイルに直流電流 10 A が流れているとき，このコイルの磁束鎖交数 Ψ1 [Wb] は (ア) Wb である。また，コイルに蓄えられている磁気エネルギー W1 [J] は (イ) J である。 次に，このコイルに流れる直流電流を 30 A とすると，磁束鎖交数 Ψ2 [Wb] と蓄えられる磁気エネルギー W2 [J] はそれぞれ (ウ) となる。 上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

  1. (ア) 1×10^-2，(イ) 5×10^-2，(ウ) Ψ2 は Ψ1 の 3 倍，W2 は W1 の 9 倍 ✓ 正答
  2. (ア) 5×10^-3，(イ) 5×10^-2，(ウ) Ψ2 は Ψ1 の 3 倍，W2 は W1 の 9 倍
  3. (ア) 1×10^-2，(イ) 1×10^-2，(ウ) Ψ2 は Ψ1 の 9 倍，W2 は W1 の 3 倍
  4. (ア) 1×10^-2，(イ) 5×10^-1，(ウ) Ψ2 は Ψ1 の 3 倍，W2 は W1 の 9 倍
  5. (ア) 5×10^-2，(イ) 5×10^-1，(ウ) Ψ2 は Ψ1 の 9 倍，W2 は W1 の 27 倍

解説

磁束鎖交数と磁気エネルギーの計算

インダクタンス LL [H] のコイルに直流電流 II [A] が流れているときの磁束鎖交数 Ψ\Psi [Wb] は、Ψ=L×I\Psi = L \times I で表されます。また、コイルに蓄えられる磁気エネルギー WW [J] は、W=12LI2W = \frac{1}{2} L I^2 で表されます。これら2つの関係式を用いて、問題の各数値を計算します。

1. 磁束鎖交数と磁気エネルギーの基本法則

  • 磁束鎖交数 (Ψ\Psi): コイルを貫く磁束 ϕ\phi [Wb] が、コイルの巻数 NN 回であるときに、コイル全体で鎖交する磁束の総量を表します。インダクタンス LL [H] と電流 II [A] の関係では、Ψ=Nϕ=LI\Psi = N \phi = L I となります。ここで、巻数 NN はインダクタンス LL に含まれて考慮されていると解釈できます。
  • 磁気エネルギー (WW): コイルに電流を流す際に、磁場を形成するために外部から供給されるエネルギーであり、コイル内に磁気エネルギーとして蓄えられます。その大きさは、インダクタンス LL [H] と電流 II [A] の関係で、W=12LI2W = \frac{1}{2} L I^2 となります。

2. 初期状態（直流電流 10 A）における計算

インダクタンス L=1 mH=1×10−3 HL = 1 \text{ mH} = 1 \times 10^{-3} \text{ H}、直流電流 I1=10 AI_1 = 10 \text{ A} のときの磁束鎖交数 Ψ1\Psi_1 と磁気エネルギー W1W_1 を計算します。

  1. 磁束鎖交数 Ψ1\Psi_1 の計算: Ψ1=L×I1\Psi_1 = L \times I_1 Ψ1=(1×10−3 H)×(10 A)\Psi_1 = (1 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (10 \text{ A}) Ψ1=1×10−2 Wb\Psi_1 = 1 \times 10^{-2} \text{ Wb}

  2. 磁気エネルギー W1W_1 の計算: W1=12LI12W_1 = \frac{1}{2} L I_1^2 W1=12×(1×10−3 H)×(10 A)2W_1 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (10 \text{ A})^2 W1=12×(1×10−3 H)×(100 A2)W_1 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (100 \text{ A}^2) W1=12×100×10−3 JW_1 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-3} \text{ J} W1=50×10−3 J=5×10−2 JW_1 = 50 \times 10^{-3} \text{ J} = 5 \times 10^{-2} \text{ J}

3. 変更後の状態（直流電流 30 A）における計算

直流電流を I2=30 AI_2 = 30 \text{ A} に変更した場合の磁束鎖交数 Ψ2\Psi_2 と磁気エネルギー W2W_2 を、初期状態と比較して計算します。

  1. 磁束鎖交数 Ψ2\Psi_2 の変化: Ψ2=L×I2\Psi_2 = L \times I_2 Ψ2=(1×10−3 H)×(30 A)\Psi_2 = (1 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (30 \text{ A}) Ψ2=3×10−2 Wb\Psi_2 = 3 \times 10^{-2} \text{ Wb} 初期状態の Ψ1=1×10−2 Wb\Psi_1 = 1 \times 10^{-2} \text{ Wb} と比較すると、 Ψ2=3×(1×10−2 Wb)=3Ψ1\Psi_2 = 3 \times (1 \times 10^{-2} \text{ Wb}) = 3 \Psi_1 したがって、Ψ2\Psi_2 は Ψ1\Psi_1 の 3 倍となります。

  2. 磁気エネルギー W2W_2 の変化: W2=12LI22W_2 = \frac{1}{2} L I_2^2 W2=12×(1×10−3 H)×(30 A)2W_2 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (30 \text{ A})^2 W2=12×(1×10−3 H)×(900 A2)W_2 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (900 \text{ A}^2) W2=12×900×10−3 JW_2 = \frac{1}{2} \times 900 \times 10^{-3} \text{ J} W2=450×10−3 J=4.5×10−1 JW_2 = 450 \times 10^{-3} \text{ J} = 4.5 \times 10^{-1} \text{ J} 初期状態の W1=5×10−2 JW_1 = 5 \times 10^{-2} \text{ J} と比較すると、 W2=4.5×10−1 J5×10−2 J=45×10−2 J5×10−2 J=9W_2 = \frac{4.5 \times 10^{-1} \text{ J}}{5 \times 10^{-2} \text{ J}} = \frac{45 \times 10^{-2} \text{ J}}{5 \times 10^{-2} \text{ J}} = 9 したがって、W2W_2 は W1W_1 の 9 倍となります。 これは、エネルギーが電流の2乗に比例する関係 (W∝I2W \propto I^2) からも理解できます。電流が 10 A10 \text{ A} から 30 A30 \text{ A} へ3倍になったため、エネルギーは 32=93^2 = 9 倍になります。

4. 空白箇所の組合せの決定

以上の計算結果から、空白箇所 (ア)～(ウ) に当てはまる組合せは以下のようになります。

  • (ア): 1×10−21 \times 10^{-2} [Wb]
  • (イ): 5×10−25 \times 10^{-2} [J]
  • (ウ): Ψ2\Psi_2 は Ψ1\Psi_1 の 3 倍、 W2W_2 は W1W_1 の 9 倍

この組合せは、選択肢 (1) と一致します。

インダクタンス LL と電流 II の関係式 Ψ=LI\Psi = L I と W=12LI2W = \frac{1}{2} L I^2 を正確に適用し、与えられた数値を代入して計算することで、初期状態および変更後の状態における磁束鎖交数と磁気エネルギーを求めることができます。特に、エネルギーが電流の2乗に比例することに注意すると、変更後の状態におけるエネルギーの増減を素早く把握できます。

参考リンク

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