図のように, 線間電圧 V [V] の三相交流電源から, Y 結線の抵抗負荷とΔ結線の抵抗負荷に電力を供給している回路がある。図中の抵抗 R がすべて R [Ω] であるとき, 図中の電路の線電流 I [A] を示す式は。

平成30年度第一種筆記試験問5 解説三相交流回路の電流

この問題は、三相交流回路におけるY結線とΔ結線の特性を理解し、それぞれの抵抗負荷に流れる線電流を求めて合計する問題です。まず、Y結線負荷に流れる線電流 $I_Y$ を求め、次にΔ結線負荷に流れる線電流 $I_Δ$ を求めます。これらの負荷は並列に接続されており、抵抗負荷であるため、それぞれの線電流は単純に合算することで全体の線電流 $I$ を導き出せます。

Y結線負荷の線電流を求める

Y結線では、線間電圧 $V$ と相電圧 $V_p$ の間には $V = \sqrt{3} V_p$ の関係があります。したがって、相電圧は $V_p = V/\sqrt{3}$ となります。抵抗負荷の各相に流れる電流（相電流 $I_{pY}$ ）は、オームの法則により次のように計算できます。 $I_{pY} = \frac{V_p}{R} = \frac{V/\sqrt{3}}{R} = \frac{V}{\sqrt{3}R}$ Y結線では、線電流 $I_Y$ と相電流 $I_{pY}$ は等しいため、 $I_Y = I_{pY}$ となります。よって、Y結線負荷に流れる線電流は $I_Y = \frac{V}{\sqrt{3}R}$ [A] です。

Δ結線負荷の線電流を求める

Δ結線では、線間電圧 $V$ と相電圧 $V_p$ は等しいので、 $V_p = V$ となります。抵抗負荷の各相に流れる電流（相電流 $I_{pΔ}$ ）は、オームの法則により次のように計算できます。 $I_{pΔ} = \frac{V_p}{R} = \frac{V}{R}$ Δ結線では、線電流 $I_Δ$ と相電流 $I_{pΔ}$ の間には $I_Δ = \sqrt{3} I_{pΔ}$ の関係があります。よって、Δ結線負荷に流れる線電流は $I_Δ = \sqrt{3} \times \frac{V}{R} = \frac{\sqrt{3}V}{R}$ [A] です。

全体の線電流を求める

Y結線負荷とΔ結線負荷は電源に対して並列に接続されています。また、両方とも抵抗負荷であるため、各線に流れる電流は位相を考慮せずに単純に加算できます。全体の線電流 $I$ は、 $I = I_Y + I_Δ$ となります。 $I = \frac{V}{\sqrt{3}R} + \frac{\sqrt{3}V}{R}$ この式を $V/R$ でくくると、選択肢の形式に合わせることができます。 $I = \frac{V}{R} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)$ [A] これは選択肢ハと一致します。

三相交流回路の基本知識

この問題は、三相交流回路におけるY結線とΔ結線の最も基本的な性質を問うものです。Y結線とΔ結線は、それぞれ異なる電圧・電流の関係を持っており、これを正確に理解することが三相回路の計算の出発点となります。

Y結線とΔ結線の関係性の理解

Y結線（星形結線）:
- 線間電圧 $V$ と相電圧 $V_p$ の関係: $V = \sqrt{3} V_p$ または $V_p = V/\sqrt{3}$
- 線電流 $I_L$ と相電流 $I_p$ の関係: $I_L = I_p$
- 中性点が存在するため、単相負荷と三相負荷を同時に供給しやすいという特徴があります。
Δ結線（三角結線）:
- 線間電圧 $V$ と相電圧 $V_p$ の関係: $V_L = V_p$
- 線電流 $I_L$ と相電流 $I_p$ の関係: $I_L = \sqrt{3} I_p$ または $I_p = I_L/\sqrt{3}$
- 中性点がないため、単相負荷の供給には不向きですが、三相平衡負荷に対しては安定した供給が可能です。また、一相が故障しても残りの二相で電力を供給し続ける「V結線」として運用できる利点もあります。

これらの関係性は、三相交流回路を扱う上で最も重要な基礎であり、電気工事士試験では頻出の知識です。特に、抵抗負荷の場合、電圧と電流の位相差は0となるため、単純なスカラー量として計算できることが計算を容易にしています。誘導性や容量性の負荷が含まれる場合は、複素数を用いたベクトル計算が必要になりますが、第一種電気工事士試験では、抵抗負荷の場合や力率が与えられている場合が多いです。

この知識が役立つ場面

三相交流は、工場やビルなどの大規模な施設で電力供給の主流として利用されています。

電動機の接続: 産業用モーターは三相交流で駆動されることが多く、その接続にはY結線やΔ結線が用いられます。特に、モーターの始動時には大きな突入電流が流れるのを防ぐために、Y-Δ始動という方式が使われることがあります。これは、始動時はY結線で電流を抑え、定常運転時はΔ結線に切り替えて出力を確保するものです。
変圧器の結線: 発電所から送られてくる高電圧を工場や家庭で使える電圧に変換する変圧器も、Y-Y、Y-Δ、Δ-Δ、Δ-Yなど様々な結線で用いられます。安定した電圧供給や、接地方法の決定などに結線方式が関わってきます。
配電盤や制御盤の設計・施工: 電気工事士は、これらの三相回路を扱う設備において、結線方法を理解し、適切な配線や保護装置を選定・設置する能力が求められます。回路図を読み解き、各部の電流値や電圧値を正確に把握することは、安全かつ効率的な電力システムの構築に不可欠です。

この問題は、一見複雑に見える三相並列回路ですが、それぞれの基本を理解していれば難なく解ける構成になっています。個々の要素（Y結線、Δ結線）を分解して考え、最後に統合するという思考プロセスは、他の複雑な回路問題を解く際にも非常に有効です。

平成30年度 第一種 筆記試験 問5 解説 三相交流回路の電流

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