令和6年度 上期 学科試験 問2 解説

導線の電気抵抗の基本式 $R = \rho \frac{L}{A}$ を $\rho = \frac{RA}{L}$ の形に変形し、断面積 $A$ に直径 $D$ を用いた円の面積の公式を代入して求めます。このとき、直径の単位が [mm] であるため、抵抗率の単位 [$\Omega \cdot$ m] に合わせて [m] に換算して計算を進めるのがポイントです。

まず、電気抵抗 $R$ [$\Omega$]、抵抗率 $\rho$ [$\Omega \cdot$ m]、導線の長さ $L$ [m]、断面積 $A$ [m$^2$] の間には次の関係があります。 $R = \rho \frac{L}{A}$ この式を $\rho$ について解くと、以下のようになります。 $\rho = \frac{RA}{L}$

flowchart TD
  A[R=ρL/A] --> B[ρ=RA/L]
  B --> C[A=π(D×10^-3/2)^2]
  C --> D[A=πD^2/(4×10^6)]
  D --> E[ρ=R/L × πD^2/(4×10^6)]
  E --> F[ρ=πD^2R/(4L×10^6)]

次に、断面積 $A$ を直径 $D$ [mm] を使って表します。計算の単位を [m] に揃える必要があるため、$D$ [mm] を $D \times 10^{-3}$ [m] として扱います。 円の断面積 $A$ は $\pi \times (\text{半径})^2$ で求められ、半径は直径の半分 $\frac{D \times 10^{-3}}{2}$ なので、断面積は以下のようになります。 $A = \pi \times (\frac{D \times 10^{-3}}{2})^2 = \pi \times \frac{D^2 \times 10^{-6}}{4} = \frac{\pi D^2}{4 \times 10^6}$ [m$^2$]

この断面積 $A$ の式を、最初に変形した $\rho = \frac{RA}{L}$ に代入します。 $\rho = \frac{R}{L} \times \frac{\pi D^2}{4 \times 10^6} = \frac{\pi D^2 R}{4L \times 10^6}$ これにより、選択肢のハが正しい式であることが導き出せます。

第二種電気工事士の筆記試験において、この抵抗の基本式に関する問題は非常に重要です。今回のような文字式の変形以外にも、「導線の長さを2倍にし、直径を1/2倍にしたとき、抵抗は何倍になるか」といった数値の変化を問うパターンが頻出します。

抵抗 $R$ は長さ $L$ に比例し、断面積 $A$ に反比例するという性質を頭に叩き込んでおきましょう。特に、断面積は直径 $D$ の「2乗」に比例するため、直径が変化したときの影響が非常に大きいことが実務上の電線選定（電圧降下の抑制など）でも重要な知識となります。

単位換算で迷ったときは、1mm が $10^{-3}$m であり、面積（mm$^2$）にするならその2乗の $10^{-6}$ が関わってくると整理すると、分母に $10^6$ がくる理由がスッキリと理解できます。