令和5年度第三種電気主任技術者下期試験　機械科目 問140 解説 問14 問14

出力信号Xが1となる組み合わせ（0,0,0）、（0,0,1）、（0,1,0）、（1,0,0）を論理積の和で表し、ブール代数の性質を用いて共通因数でくくることで、論理式はX = A'・B' + B'・C' + C'・A'と簡略化されます。

論理演算の基本性質

論理回路の出力結果を式で表すためには、論理積（AND：$A \cdot B$）、論理和（OR：$A + B$）、否定（NOT：$A'$または$\bar{A}$）の組み合わせを用います。真理値表から式を導く基本的な手法として、出力が「1」となる入力の組み合わせをすべて列挙し、それらを論理和で結ぶ方法があります。

このとき重要なのがブール代数の公式です。特に、式を簡略化する際によく用いられるのが以下の分配法則です。 $A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C)$ また、同じ変数同士の論理和には以下の関係が成り立ちます。 $A + A' = 1$ この性質を利用すると、例えば $A' \cdot B' \cdot C' + A' \cdot B' \cdot C$ という項は、$A' \cdot B' \cdot (C' + C) = A' \cdot B' \cdot 1 = A' \cdot B'$ となり、項をまとめることができます。

真理値表から論理式を導く手順

1. 出力Xが1となる入力信号（A, B, C）の組み合わせを抜き出します。

   • (0, 0, 0) $\rightarrow A' \cdot B' \cdot C'$
   • (0, 0, 1) $\rightarrow A' \cdot B' \cdot C$
   • (0, 1, 0) $\rightarrow A' \cdot B \cdot C'$
   • (1, 0, 0) $\rightarrow A \cdot B' \cdot C'$

2. これらを論理和でつなぎます。 $X = (A' \cdot B' \cdot C') + (A' \cdot B' \cdot C) + (A' \cdot B \cdot C') + (A \cdot B' \cdot C')$

3. 変数をくくり出して式を整理します。 まず、前2項と、1項・4項、1項・3項をそれぞれ組み合わせます。

   • $A' \cdot B' \cdot (C' + C) = A' \cdot B'$
   • $B' \cdot C' \cdot (A' + A) = B' \cdot C'$
   • $A' \cdot C' \cdot (B' + B) = A' \cdot C'$ これらを合計すると、$X = A' \cdot B' + B' \cdot C' + C' \cdot A'$ となります。

4. 選択肢を確認します。 選択肢(5)の式 $X = \bar{A} \cdot \bar{B} + \bar{B} \cdot \bar{C} + \bar{C} \cdot \bar{A}$ は、上記で導出した $A' \cdot B' + B' \cdot C' + C' \cdot A'$ と等価です。これにより、真理値表の条件を満たす式が特定できます。

入力信号の組み合わせと出力の関係を、ブール代数の展開・整理のステップと重ねてみると、論理回路の構成が見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験の論理回路の基礎
• JavaScriptで論理ゲートを動かして理解する
• ブール代数の基礎と論理関数 (Wikipedia)