令和5年度第三種電気主任技術者上期試験　機械科目 問171 解説 問17(a) 問17(a)

壁の厚さ方向の熱抵抗

断面積 $2\text{ m}^2$、厚さ $30\text{ cm}$、熱伝導率 $1.6\text{ W/(m・K)}$ の壁の厚さ方向の熱抵抗は、フーリエの法則に基づき導かれる熱抵抗の計算式 $R = L / (λA)$ を用いて $0.3\text{ m} / (1.6\text{ W/(m・K)} \times 2\text{ m}^2) = 0.09375\text{ K/W}$ と求められるため、最も近い選択肢である0.0938が正答です。

熱伝導における熱抵抗の概念とフーリエの法則

熱抵抗は、物体を通して熱が伝わりにくさを示す量であり、電気回路における電気抵抗と類似した概念です。熱抵抗が大きいほど、同じ温度差があっても熱が伝わる量が少なくなります。単位はケルビン毎ワット [K/W] またはセルシウス度毎ワット [℃/W] で表されます。この問題のように一次元の定常熱伝導においては、厚さ $L$ の壁を熱伝導率 $λ$、断面積 $A$ を通して熱が伝わる場合、熱抵抗 $R$ は以下の式で表されます。

$R = \frac{L}{λA}$

ここで、

• $R$: 熱抵抗 [K/W] または [℃/W]
• $L$: 熱が伝わる方向の厚さ（長さ）[m]
• $λ$: 熱伝導率 [W/(m・K)]
• $A$: 熱が伝わる断面積 [m$^2$]

この熱抵抗の概念は、熱流束が温度勾配に比例するというフーリエの法則から導かれます。フーリエの法則は、熱流 $Φ$ が、熱伝導率 $λ$、断面積 $A$、そして温度勾配 $ΔT/L$ に比例することを示しており、$Φ = -λA \frac{ΔT}{L}$ と表されます。ここで $ΔT$ は温度差です。この式を熱抵抗の形で整理すると、$Φ = \frac{ΔT}{R}$ となり、電気回路におけるオームの法則 $I = V/R$（電流 = 電圧 / 抵抗）と対比すると、熱流 $Φ$ が電流 $I$ に、温度差 $ΔT$ が電圧 $V$ に対応し、熱抵抗 $R = L / (λA)$ が電気抵抗に相当することが理解できます。

壁の厚さ方向の熱抵抗の計算

問題で与えられた条件と熱抵抗の式を用いて、具体的な熱抵抗の値を計算します。

1. 必要な物理量の整理と単位の確認 問題文から以下の値が与えられています。

   • 断面積 $A = 2\text{ m}^2$
   • 厚さ $L = 30\text{ cm}$
   • 熱伝導率 $λ = 1.6\text{ W/(m・K)}$

   熱抵抗の計算式では、厚さ $L$ の単位をメートル [m] に統一する必要があります。したがって、$30\text{ cm}$ を $0.3\text{ m}$ に変換します。

   • $L = 0.3\text{ m}$

2. 熱抵抗の計算式の適用 上記で説明した壁の厚さ方向の熱抵抗 $R$ の式に、整理した物理量を代入します。 $R = \frac{L}{λA}$

3. 計算の実行 $R = \frac{0.3\text{ m}}{1.6\text{ W/(m・K)} \times 2\text{ m}^2}$ $R = \frac{0.3}{3.2}\text{ K/W}$ $R = 0.09375\text{ K/W}$

4. 選択肢との比較 計算で得られた熱抵抗 $R = 0.09375\text{ K/W}$ を選択肢と照合します。 (1) $0.0417$ (2) $0.0938$ (3) $0.267$ (4) $2.67$ (5) $4.17$ $0.09375$ に最も近い値は選択肢(2)の $0.0938$ です。

断面積 $A=2\text{ m}^2$、厚さ $L=30\text{ cm}$、熱伝導率 $λ=1.6\text{ W/(m・K)}$ の数値を熱抵抗の式に当てはめてみると、熱の伝わりにくさが数値として具体的に見えてきます。

参考リンク

• 電験三種 熱伝導・熱抵抗・熱通過率を理解する
• ヒートシンク設計の基礎【伝熱工学】
• JIS Z 8000-5:2022 単位及びその使い方−第５部：熱学