令和5年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問152 解説 問15(b) 問15

線間電圧200Vの対称三相交流電源を接続した場合、回路全体での消費電力は、各相の合成抵抗に加わる相電圧を基準に計算することで1.6kWと導かれます。

回路の合成と三相電力の考え方

三相回路における電力計算では、回路がY結線かΔ結線かを整理することが重要です。この問題の回路図を見ると、電源から接続される3つの端子に対し、それぞれ $R/2$ の抵抗が直列に配置され、その先に $R$ の抵抗がΔ結線されています。

三相平衡回路では、Δ結線された負荷をY結線に変換（Δ-Y変換）することで、各相ごとの計算が可能になります。Δ結線された抵抗 $R$ をY結線に変換すると、各相の抵抗値は元の値の3分の1となるため、$R/3$ となります。これに直列接続されている $R/2$ を加えると、1相あたりの合成抵抗 $R_0$ は以下のようになります。 $R_0 = \frac{R}{2} + \frac{R}{3} = \frac{3R+2R}{6} = \frac{5}{6}R$

ここで、(a)の条件から $R$ の値を求めます。端子a, c間に100Vの単相電圧を印加したとき、消費電力が200Wであったことから、合成抵抗 $R_{ac}$ を用いて $P = V^2 / R_{ac}$ により計算します。この回路構成では、端子a, c間には $R/2$ が2つ直列に、中央のΔ回路は $R$ と $2R$ の並列接続として存在するため、合成抵抗は $R_{ac} = R/2 + R/2 + (R \times 2R)/(R + 2R) = R + 2R/3 = 5R/3$ となります。 $200 = 100^2 / (5R/3)$ より、$200 = 10000 \times 3 / 5R = 6000 / R$ となり、$R = 30[\Omega]$ です。

三相交流回路の消費電力算出

対称三相交流電源を接続した際、Y結線における1相あたりの合成抵抗 $R_0$ は、$R=30$ を代入すると以下の値になります。 $R_0 = \frac{5}{6} \times 30 = 25[\Omega]$

三相平衡回路において、線間電圧 $V_L = 200[V]$ が印加されているとき、各相のY結線中心にかかる相電圧 $V_p$ は、$V_p = V_L / \sqrt{3}$ です。1相あたりの消費電力 $P_1$ は、$P_1 = V_p^2 / R_0$ で求められます。 $P_1 = (200 / \sqrt{3})^2 / 25 = (40000 / 3) / 25 = 1600 / 3[W]$

全消費電力 $P$ は、3相分であるため $3 \times P_1$ となります。 $P = 3 \times (1600 / 3) = 1600[W] = 1.6[kW]$

端子a, b, cに接続された電源の線間電圧と、Δ-Y変換でスッキリと整理された各相の抵抗値を重ねてみると、回路全体で消費されるエネルギーの流れが見えてきます。

参考リンク

• 電気主任技術者試験の過去問解説サイト（電験合格への道）
• 三相交流回路のΔ-Y変換をPythonでシミュレーションする話（Qiita）
• 三相電力の定義と理論（電気学会 電気工学ハンドブック）