問9 図のように, 抵抗 R [Ω] と誘導性リアクタンス XL [Ω] が直列に接続された交流回路がある。 R/XL = 1/√2 の関係があるとき, この回路の力率 cos φ の値として, 最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

令和5年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目問90 解説問9 問9

交流回路の力率 $cos \phi$ は、抵抗 $R$ とインピーダンス $Z$ の比率で決まるため、問題で与えられた $R/X_L = 1/\sqrt{2}$ という関係式を代入して計算すると、値は約 $0.58$ となります。

抵抗 $R$ と誘導性リアクタンス $X_L$ が直列に接続された回路において、全体のインピーダンス $Z$ は、それぞれの成分が互いに直交する関係にあることから、ピタゴラスの定理を用いて $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ と表されます。

力率 $cos \phi$ とは、回路の全インピーダンスに対する抵抗成分の割合を示す指標です。この回路においては以下の式で定義されます。

$cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$

ここで、分母と分子をそれぞれ $R$ で割ると、比率の形式で扱いやすくなります。

$cos \phi = \frac{1}{\sqrt{\frac{R^2}{R^2} + \frac{X_L^2}{R^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{X_L}{R})^2}}$

この式から、力率は回路内の抵抗 $R$ とリアクタンス $X_L$ の比率によって一意に定まることが分かります。

与えられた条件から、以下の手順で値を求めます。

$R/X_L = 1/\sqrt{2}$ の逆数をとり、 $X_L/R = \sqrt{2}$ であることを確認します。
力率の公式 $cos \phi = 1/\sqrt{1 + (X_L/R)^2}$ に $X_L/R = \sqrt{2}$ を代入します。
$cos \phi = 1/\sqrt{1 + (\sqrt{2})^2} = 1/\sqrt{1 + 2} = 1/\sqrt{3}$ となります。
$\sqrt{3}$ はおよそ $1.732$ であるため、 $1 \div 1.732 \fallingdotseq 0.577$ を計算し、最も近い選択肢を選択します。

抵抗 $R$ を底辺、リアクタンス $X_L$ を高さとした直角三角形の斜辺にインピーダンス $Z$ を重ねてみると、力率がその三角形の底辺と斜辺の比として浮かび上がってきます。