令和6年度第三種電気主任技術者上期試験　機械科目 問181 解説 問18(a) 令和6年度第三種電気主任技術者上期試験 機械科目 大問18(a)

進法における各位の数値が底 $r$ の累乗の係数であることを利用し、与えられた等式を $r$ についての代数方程式に書き換えることで、正解の $r=6$ が導かれます。

r進法の定義と数値の展開

一般に、ある数値を $r$ 進法で $(a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0)_r$ と表記する場合、その値は $n$ 桁目から $0$ 桁目までの各係数 $a_i$ を用いて、次のように展開できます。

$N = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r^1 + a_0 r^0$

ここで $r^0 = 1$ であるため、各項は右から数えて $0$ 番目、 $1$ 番目、 $2$ 番目と、底 $r$ の累乗を掛けることで元の数値を復元できます。この定義により、異なる進法同士の計算であっても、一度全て 10 進法の形式へ展開することで、通常の算術演算として扱うことが可能になります。

方程式の立式と解法

問題文で与えられた等式 $(122)_r - (42)_r = (40)_r$ を、上記の定義に基づき $r$ を変数とする方程式として処理します。

1. 各項を $r$ を用いた多項式に展開します。 $(122)_r = 1 \times r^2 + 2 \times r^1 + 2 \times 1 = r^2 + 2r + 2$ $(42)_r = 4 \times r^1 + 2 \times 1 = 4r + 2$ $(40)_r = 4 \times r^1 + 0 \times 1 = 4r$

2. 展開した各式を元の等式に代入し、整理します。 $(r^2 + 2r + 2) - (4r + 2) = 4r$ 左辺を計算すると、定数項の $2$ と $-2$ が相殺され、 $r^2 - 2r = 4r$ となります。

3. 方程式を移項して $r$ を求めます。 $r^2 - 2r - 4r = 0$ $r^2 - 6r = 0$ $r(r - 6) = 0$

この結果、$r=0$ または $r=6$ となります。問題文において「2以上の整数 $r$」という条件が課されているため、求める値は $6$ に確定します。

各桁の重みが $r$ の何乗にあたるかを順に追っていくと、数式上のバランスが崩れることなく $r$ の値が見えてきます。

参考リンク

• 基数変換と進数表現（電気主任技術者試験対策）
• Pythonで学ぶ進数変換の仕組み
• Positional numeral system (Wikipedia)