令和6年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問151 解説 問15(a) 問15

電圧 $v=500\sin(1000t) \text{ [V]}$ に対して電流 $i=-50\cos(1000t) \text{ [A]}$ は位相が $90^\circ$（$\pi/2$）遅れているため、この回路素子はインダクタンス $L=10\text{mH}$ となります。

回路素子における電圧と電流の位相関係

交流回路において、コイル（インダクタンス $L$）とコンデンサ（静電容量 $C$）は、流れる電流の位相を電圧に対して変化させる性質を持っています。

コイルに流れる電流は、電圧に対して位相が常に $90^\circ$ 遅れます。一方、コンデンサに流れる電流は、電圧に対して位相が $90^\circ$ 進みます。この位相関係を数式で見極めるには、三角関数の性質を利用します。

今回の電流式 $i = -50\cos(1000t)$ は、三角関数の公式 $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ を用いて書き換えると、$i = -50\sin(1000t + \pi/2)$ となります。さらにマイナスを中に入れると $i = 50\sin(1000t - \pi/2)$ と変形できます。電圧 $v = 500\sin(1000t)$ と比較すると、電流の位相が $-\pi/2$、つまり $90^\circ$ 遅れていることが分かります。これにより、回路素子がコイルであることが確定します。

インダクタンスの算出

回路素子がコイルであると判明したため、誘導性リアクタンスの法則を用いて値を決定します。誘導性リアクタンス $X_L \text{ [\Omega]}$ は、コイルのインダクタンス $L \text{ [H]}$ と電源の角周波数 $\omega \text{ [rad/s]}$ を用いて、$X_L = \omega L$ と表されます。また、オームの法則と同様に、電圧の最大値 $V_m$ と電流の最大値 $I_m$ の比から $X_L = V_m / I_m$ と求められます。

1. 電圧と電流の最大値を特定します。式より $V_m = 500 \text{ [V]}$、$I_m = 50 \text{ [A]}$ です。
2. 誘導性リアクタンスを計算します。$X_L = 500 / 50 = 10 \text{ [\Omega]}$ です。
3. 角周波数 $\omega$ を確認します。電圧の式 $v=500\sin(1000t)$ において $t$ に掛かっている係数 $1000$ が角周波数 $\omega$ に相当します。
4. 式 $10 = 1000 \times L$ より、$L = 10 / 1000 = 0.01 \text{ [H]}$ を導きます。
5. 単位をミリヘンリーに変換すると、$0.01 \text{ [H]} = 10 \text{mH}$ となります。

回路素子のインダクタンス値がリアクタンスと角周波数の関係式に収まる様子を重ねてみると、電流の遅れと素子の特性が結びついて見えてきます。

参考リンク

• 【電験三種】理論・交流回路の基礎（位相の進みと遅れ）
• 交流回路におけるインダクタとキャパシタの挙動
• インダクタンス（Inductance）の定義と物理的意味