令和6年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目 問20 解説 問2 問2

導体球の表面における電界の強さが空気の絶縁耐力Emに達するときに蓄えられる電荷が最大値となり、その値は$Q = 4πε_0a^2Em$で表されます。

導体球と電界の関係

半径$a[m]$の導体球に電荷$Q[C]$を与えると、その電荷は導体の表面に均一に分布します。このとき、導体球の外側や表面に生じる電界の強さ$E[V/m]$は、ガウスの法則を用いて求めることができます。

ガウスの法則とは、任意の閉曲面を貫く電束は、その閉曲面内部の電荷の総量に等しいという法則です。導体球から距離$r$の地点における電界の強さは、以下の式で与えられます。

$E = \frac{Q}{4πε_0r^2}$

ここで、$ε_0[F/m]$は真空（空気中）の誘電率です。この式が示す通り、電界の強さは中心からの距離の二乗に反比例します。導体球の表面（$r = a$）において、電界の強さは最大となります。

最大電荷の導出

絶縁体である空気が電気的に耐えられる限界の強さを絶縁耐力$Em[V/m]$と呼びます。導体球に電荷を蓄積していくと、表面の電界の強さ$E$が大きくなっていきます。この強さが$Em$を超えると空気の絶縁破壊が起こり、電荷をそれ以上保持できなくなります。したがって、最大電荷を求めるには、表面の電界の強さがちょうど$Em$に達する状態を考えます。

1. 導体球の表面における電界の強さの式 $E = \frac{Q}{4πε_0a^2}$ を特定します。
2. 絶縁破壊が起こる直前の限界状態として、$E = Em$ とおきます。
3. 式を変形して、電荷$Q$について解きます。 $Em = \frac{Q}{4πε_0a^2}$ 両辺に $4πε_0a^2$ を掛けることで、$Q = 4πε_0a^2Em$ という関係式が得られます。

導体球の表面における電界の強さと、空気の絶縁耐力が等しくなる境界線に注目してみると、電荷が最大となる条件が見えてきます。

参考リンク

• 電験三種「理論」導体球の電界と電位の解説
• 静電気の力で空き缶を転がす実験
• 電界の強さ（コトバンク）