問7 起電力が E [V] で内部抵抗が r [Ω] の電池がある。この電池に抵抗 R1 [Ω] と可変抵抗 R2 [Ω] を並列につないだとき, 抵抗 R2 [Ω] から発生するジュール熱が最大となるときの抵抗 R2 [Ω] の値を表す式として, 正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

令和6年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目問70 解説問7 問7

可変抵抗 $R_2$ で発生するジュール熱が最大となる条件は、回路全体から見た $R_2$ 側の等価内部抵抗と $R_2$ が等しくなることであり、正答は $R_2 = \frac{r R_1}{r + R_1}$ となります。

回路において特定の負荷で消費される電力が最大となる条件は、最大電力供給の定理によって導かれます。ある電圧源と内部抵抗を持つ回路から負荷へ電力を供給する場合、負荷の抵抗値が電源側の「テブナン等価抵抗」と一致するときに、負荷で消費される電力が最大になります。

テブナン等価抵抗とは、負荷を取り除いた端子から電源側を見たときの合成抵抗のことです。電圧源の内部抵抗が $r$ であり、それに抵抗 $R_1$ が並列に接続されている回路を考えると、負荷である $R_2$ を接続する端子から見た合成抵抗は、 $r$ と $R_1$ の並列接続として求められます。

設問の回路において、 $R_2$ で消費される電力を最大にするための手順は以下の通りです。

電源回路をテブナン等価回路へ変換する負荷である $R_2$ を一時的に取り外します。このとき、端子間に現れる開放電圧 $V_{th}$ は、内部抵抗 $r$ と抵抗 $R_1$ の直列回路における $R_1$ の端子電圧となり、分圧の法則より $V_{th} = E \cdot \frac{R_1}{r + R_1}$ となります。
端子から見た等価抵抗を算出する電圧源の起電力 $E$ を短絡（0V）とみなして端子から回路内部を見ます。すると、内部抵抗 $r$ と抵抗 $R_1$ が並列に接続されている形になるため、テブナン等価抵抗 $R_{th}$ は次のように求まります。 $R_{th} = \frac{r \cdot R_1}{r + R_1}$
最大電力供給の条件を適用する負荷である $R_2$ で発生するジュール熱を最大にするには、負荷抵抗 $R_2$ が電源側のテブナン等価抵抗 $R_{th}$ と等しくなる必要があります。したがって、 $R_2 = R_{th} = \frac{r R_1}{r + R_1}$ が成立します。

電池の内部抵抗と外部に並列接続された抵抗の配置を重ねてみると、電流の行き先が分かれる中で $R_2$ がどれだけの割合を担えるかという関係が見えてきます。