問8 図のように, 二つのLC直列共振回路A, Bがあり, それぞれの共振周波数がfA[Hz], fB[Hz]である。これらA, Bをさらに直列に接続した場合, 全体としての共振周波数がfAB[Hz]になった。fA, fB及びfABの大小関係として, 正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

令和6年度第三種電気主任技術者上期試験　理論科目問80 解説問8 問8

LC直列共振回路における共振周波数はインダクタンスLと静電容量Cの積の平方根に反比例するため、各回路のLとCの合成値を計算することで、fB < fAB < fAという大小関係が導かれます。

LC直列共振回路は、コイル（L）とコンデンサ（C）を直列に接続した回路です。この回路が共振状態になるとき、誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスの大きさが等しくなり、回路全体のインピーダンスが最小（理論上はゼロ）となります。このときの共振周波数f[Hz]は、以下の基本式で表されます。

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

この式から、共振周波数はLCの積が大きくなるほど低くなり、逆にLCの積が小さくなるほど高くなるという関係が読み取れます。

図に示された各回路の定数に基づき、共振周波数をそれぞれ算出します。

回路Aの共振周波数fAは、インダクタンスLと静電容量Cを用いて以下のように表されます。 $fA = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
回路Bは、インダクタンスが2L、静電容量がCです。これを基本式に当てはめると、回路Bの共振周波数fBは以下となります。 $fB = \frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{fA}{\sqrt{2}}$ この結果、fBはfAよりも小さいことがわかります。
回路Aと回路Bを直列に接続した全体の回路では、合成インダクタンスL_totalと合成静電容量C_totalを求めます。直列接続ではインダクタンスは足し算になるため、L_total = L + 2L = 3L となります。一方、コンデンサの直列接続では合成容量は逆数の和をとるため、1/C_total = 1/C + 1/C = 2/C となり、C_total = C/2 となります。これらを合成した回路の共振周波数fABは以下のようになります。 $fAB = \frac{1}{2\pi\sqrt{(3L) \times (C/2)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1.5LC}} = \frac{1}{\sqrt{1.5}} \times \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{fA}{\sqrt{1.5}}$
得られた係数を比較すると、 $\sqrt{1} < \sqrt{1.5} < \sqrt{2}$ の関係があるため、それぞれの周波数の逆数関係から fB < fAB < fA という順序が確定します。

それぞれの回路におけるLとCの組み合わせを、共振周波数の式の根号の中身と照らし合わせると、全体のバランスが見えてきます。